第二节随机变量的分布列与正态分布第二节随机变量的分布列与正态分布考点串串讲1．随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母X，Y，ξ，η等表示．(1)离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量：如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．(2)若X是随机变量，Y＝aX＋b，其中a，b是常数，则Y也是随机变量．(3)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(4)注意区分随机变量X与以前所学函数f(x)两概念．函数f(x)是研究确定性现象的，它定义在实数轴上，有确定的因果关系．概率中的随机变量是研究随机现象的，它定义在由全部试验结果所组成的集合上，它的取值是不能预知的，但它的取值有一定的概率．我们研究随机变量时，关心的是，随机变量能取哪些值，即都包含哪些试验结果(基本事件)，以及注意研究它的统计规律，也就是事件概率的大小．2．离散型随机变量的分布列．设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…xi，…X取每一个值xi(i＝1,2，…)的概率P(X＝xi)＝Pi，则表Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列．(1)离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：①pi≥0，i＝1,2，…；②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)求离散型随机变量分布列的步骤求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进行：①明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；②利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．3．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．注意二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项为Tk＋1＝Ckn(1－p)n－kpk，可见P(X＝k)就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项，故此公式称为二项分布公式．4．两点分布与超几何分布(1)两点分布若随机变量X的取值只有两种情况，不妨设为X＝0和X＝1，P(X＝1)＝p，则随机变量X的分布列是X01P1－pp这样的分布列称为两点分布列．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．两点分布又称0－1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努力分布．(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．5．离散型随机变量的期望(1)若离散型随机变量X的概率分布为：Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为X的均值(或数学期望)．(2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)期望的性质：E(C)＝C，E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b，C为常数)．(4)对离散型随机变量的期望作如下几点说明：①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．②EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态．③对于E(aX＋b)＝aEX＋b.说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的期望等于随机变量X期望的线性函数．此式可有如下几种特殊形式：当b＝0时，E(aX)＝aEX，此式表明常量与随机变量乘积的期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积．当a＝1时，E(X＋b)＝EX＋b，此式表明随机变量与常量和的期望，等于随机变量...
