数学思想方法数学思想方法专题一“数”和“形”是数学中两个最古老、最基本的问题，是数学大厦的两块基石，数学的所有问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述．数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．这种处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法．()“”“”数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在中学数学中占有重要的地位．在高考中，充分利用选择题、填空题的题型特点这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考查则以由形到数的转化为主．20,11,31(1)4()1A1,0B(0)211C(0)D(0)34fxxfxxxfxkxkkkk已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程且有个根，则的取值范围是．．，．，．例1，.R考点1利用函数图象数形结合•()()()()()()gxkxkkkfxgxfxkk令且，先在同一坐标中分别作出与的图象，作函数的图象注意周期性的应用，然后通过比较图象的位置建立关于的方程组，由此可求得的取分值．析：范围1R1111401C0.203gxkxkfxgxgfxgxkkg数形结合，设，函数与的图象如图所示．又，因此要使方程有个根，则，解得＜＜解，析：故选【思维启迪】用图象讨论方程有解问题是一种行之有效的方法．此类问题主要有两种题型：一是判断方程解的情况；二是根据方程解的情况确定参数的取值范围．解答此类题型一般是先将方程转化为我们熟知的两种基本函数(或曲线)，然后在同一直角坐标系内作出两个函数的图象(或曲线)，再观察两种基本函数的图象(或曲线)公共点个数，根据图象建立方程(组)求解．01sin2.xxkxk当时，不等式成立，则实数的取值范围是变式题：1212sin2sin21sin(1)121.yxykxxkxxyykk作出与的图象，要使不等式成立，由图可知须当时，，即，解得解析：•211|4|2(20112_____)___lyxmCyxm已知直线：与曲线：仅有三个交点，则实数的取值范围是例2广西桂林、防城港联合调研考试．21|4|2yxCm将变形，可以看到曲线是椭圆或双曲线的一半，因此可考虑通过作出直线与曲线，通过分析它们的位置关系来求实数的分析：取值范围．考点2利用圆锥曲线数形结合2222121221(0)4221(0)411.2xxCyyxxxCyyClllllClyx当＜＜时，曲线：；当＜或＞时，曲线：．由此作出曲线与直线，如图所示，由图易知当直线位于在直线与之间时，直线与曲线仅有三个交点，易知直线的方程为解析：22222221(0)21(0)42220.442202.(12)lyxbbxyyxbxbbmbb设直线的方程＞，代入，得于是由，解得所以实数的取值范围是，．•【思维启迪】利用数形结合处理直线与曲线的交点个数问题也是常见题型之一，解答时要注意对应的曲线方程的未知数的取值范围．另外本题须注意两处易错点：(1)对曲线C进行讨论时易出现错误；(2)作图时交接点处易出现错误．21.Cyxlykxbkb若曲线：与直线：没有公共点，则、分别应满足的条件是变式题：2220101,101.1xCyxxCyxClCyxlybkxbk当时，曲线：；当＜时，曲线：作出曲线与直线，如图所示，易知曲线：与直线：没有公共点时，，解析：．110,11()0,3()A1B2C3D4xfxfxfxxfxxxfxx偶函数满足，且在时，，则关于的方程在上解的个备数是．．．例题:．选...
