高三数学大一轮复习 13.5数学归纳法课件VIP免费

§13.5数学归纳法基础知识自主学习要点梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述方法叫做数学归纳法．[难点正本疑点清源]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．基础自测1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)”，在验证n＝1时，左端计算所得的项为________．解析由题意可知，等式左端共有n＋2项，∴当n＝1时，左端有3项为1＋a＋a2.1＋a＋a22．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－11)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．解析n＝k时，左边＝1＋12＋…＋12k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋…＋12k＋1－1.所以左边应增加的项的项数为2k.2k3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0＝________.解析边数最少的凸n边形是三角形．故第一个值n0为3.34．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项．D5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立解析方法一由n＝k(k∈N*)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．方法二其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”⇒“n＝4时不成立”．C题型分类深度剖析题型一用数学归纳法证明等式例1求证：12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16.证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1·1＋12＋16＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即12＋22＋…＋k2＝kk＋12k＋16，则当n＝k＋1时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝kk＋12k＋16＋(k＋1)2＝k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1]6所以当n＝k＋1时，等式仍然成立由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．探究提高用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．变式训练1用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.证明(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k...