1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做。这两个定点F1，F2叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的.双曲线的定义用符号语言表示：.2.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程：(a>0，b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程：(a>0，b>0)，焦点F1(0，－c)，F2(0，c).知识梳理122MFMFa12FF焦点焦距x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1双曲线其中a，b，c几何意义：a表示实轴长的一半，b表示虚轴长的一半，c表示焦距长的一半.并且有c2＝a2＋b2.3.双曲线的简单几何性质，以x2a2－y2b2＝1为例.(1)范围：；(2)对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：O(0，0)；(3)顶点：，实轴长＝2a，虚轴长＝2b；(4)离心率e＝ca，e>1.e越，双曲线越；e越大，双曲线越.(5)双曲线的渐近线方程：.A1(－a，0)，A2(a，0)小扁开阔y＝±bax12AA12BB,xayR要点探究►探究点1双曲线定义的应用例1[2009·辽宁卷]已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为________.PFPA【思路】从双曲线的定义和三角形的边的关系入手，构建关系式，求得最小值．【答案】9【解析】注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F1(4,0)．于是由双曲线性质|PF|－|PF1|＝2a＝4，又|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝5，两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A、P、F1三点共线时等号成立．【点评】求双曲线上的点到平面内定点与到焦点的距离之和或距离之差的最值问题，首先考虑双曲线的定义，然后借助三角形边的一些不等关系，得到三点共线是最值．若已知双曲线上的点到焦点的距离是定值问题，可以求得点的坐标，进而解决诸如面积等其他类问题，如下面的变式题：变式题[2008·四川卷]已知双曲线C：x29－y216＝1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且则△PF1F2的面积等于()A．24B．36C．48D．96【思路】(1)由双曲线方程求得焦距，从而得三角形两腰长，再由双曲线定义求出底边，以PF1为底求面积.(2)设出P点坐标，由题意知，P是以F2为圆心，焦距为半径的圆与双曲线的交点，由此求出P点坐标，再求面积.212PFFF【解析】C方法一： 双曲线C：x29－y216＝1中a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（-5,0），F2（5,0）. |PF1|＝|F1F2|，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋10＝16.作PF1边上的高AF2，则AF1＝8，∴AF2＝102－82＝6.∴△PF1F2的面积为12|PF1|·|AF2|＝12×16×6＝48，故选C.方法二： 双曲线C：x29－y216＝1中，a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（-5,0），F2（5,0）设P(x0，y0)，(x0>0)，则由|PF1|＝|F1F2|得(x0－5)2＋y02＝102，又 P为C的右支上一点，∴，∴＝16（x029－1)，∴(x0－5)2＋16（x029－1)＝100，即25－90x0－819＝0.解得x0＝395或x0＝－215<0(舍去).22001916xy20x20y∴＝16（x029－1)＝16[(395)2×19－1]＝48252，y0＝±485.∴△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y0|＝12×10×485＝48，故选C.20y►探究点2双曲线的标准方程例2根据下列条件，求焦点在x轴上的双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2).【思路】利用待定系数法求双曲线标准方程.【解答】方法一：(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，,(－3)2a2－(23)2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求c＝25，又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a2－4b2＝1.又 a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.方法二：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14.(2)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为x212－y28＝1.【点评】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用，若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).►探究点3椭圆的几何性质的应用例3[2009·山东卷]设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条...
