•重点难点•重点：双曲线定义、标准方程与几何性质．•难点：双曲线几何性质的应用和求双曲线方程．•知识归纳•1．双曲线的定义•平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．•2．双曲线的标准方程与几何性质3.双曲线的形状与e的关系： 双曲线渐近线的斜率k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，∴e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．4．基础三角形如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝c，tan∠AOB＝ba，△OF2D中，|F2D|＝b.5．共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在轴上．xy•误区警示•1．注意双曲线的几何量a、b、c关系是c2＝a2＋b2应与椭圆区别．离心率e的取值范围是e>1.•2．在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在哪个轴上，不知道焦点位置时要分类讨论，或直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，据方程判断焦点的位置时，也要注意与椭圆的区别．椭圆看a与b的大小，双曲线看x2、y2系数的正负．•3．解决与双曲线上的点有关问题时，有时候还要区分点在哪支上．4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax，而双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±abx(即x＝±bay)应注意其区别与联系．5．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点．解题技巧1．巧设双曲线方程(1)已知双曲线上两点坐标，可设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．(2)若所求双曲线与x2a2－y2b2＝1有公共渐近线，或者已知其渐近线方程为y＝±bax，可设其方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)若双曲线与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点相同，则可设其方程为x2a2－λ＋y2b2－λ＝1(b2<λ
n>0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－aB.12(m－a)C．m2－a2D.12(m2－a2)•解析：(|PF1|＋|PF2|)2＝4m2，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，•∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.∴选C.•答案：C(理)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________.解析：由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC中，有|BC|sinA＝|AB|sinC＝|AC|sinB＝2R，从而sinA－sinCsinB＝|BC|－|AB||AC|＝56.故填56.•点评：圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决，请再练习下题：设P是双曲线x2－y23＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则|PA|＋|PF|的最小值为______．解析：设双曲线的另一个焦点为F′，则有F′(－2,0)，F(2,0)，连结AF′交双曲线的右支于点P1，连结P1F，则|P1F′|－|P1F|＝2a＝2.于是(|PA|＋|PF|)min＝|P1A|＋|P1F|＝|P1A|＋(|P1F′|－2)＝|AF′|－2＝26－2.[例2]根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线x24－y23＝1有共同的渐近线，且过点(2，23)；(2)与双曲线x216－y29＝1有公共焦点，且过点(－32，4)．分析...
