本章优化总结专题探究精讲章末综合检测本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲数学思想方法1．函数与方程的思想：数列是一种特殊的函数，an＝f(n)，Sn＝g(n)等都是关于n的函数(本章常见的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)．因此，在解题过程中常结合“函数与方程”的思想，及二次方程的根的讨论、函数的图象的应用、函数的单调性与最值等．树立“函数与方程”的思想是非常必要的.2．分类讨论的思想：数列中有很多重要的分类讨论点，既是高考的热点，也是广大考生的弱点、失分点．复习过程中务必认真整理，重点研究，“重锤猛敲，夯实砸死”．(1)在an与Sn的关系中，讨论n＝1，n≥2两种情况；(2)等比数列的前n项和Sn，分q＝1、q≠1两种情况讨论等．3．归纳，猜想，证明的思想：这一思想是整个数学研究的思想，也是数列这一部分常用的思想，如等差数列、等比数列通项公式an的推导等．其中，观察是前提——学会找规律;猜想是关键——找出共同规律；证明是保证——一般用数学归纳法证明(现阶段可以采用构造法证明)．已知等差数列{an}中，首项a1＞0，且S3＝S10.问当n为何值时，此数列前n项的和最大？最大值是多少？例例11【分析】把等差数列的前n项和看作是关于n的二次函数．由二次函数的性质来解题．【解】由S3＝S10，得3a1＋a1＋2d2＝10a1＋a1＋9d2，则d＝－16a1.所以Sn＝na1＋12n(n－1)d＝na1＋12n(n－1)(－16a1)＝－112a1(n－132)2＋16948a1，故当n＝6或n＝7时，S6＝S7＝72a1为最大值．【点评】数列的通项公式及前n项和公式都可以看作是以项数n为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题是常用的思想方法．例例22在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，求公比q.【分析】注意分q＝1和q≠1两种情况讨论.【解】由已知条件，可得(1)当q≠1时，a1q2＝32，a11－q31－q＝92，消去a1，得2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1(舍去)．(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，此时，S3＝a1＋a2＋a3＝92也成立．综上，公比q＝1或q＝－12.【点评】在利用等比数列的前n项和公式解题时，常常需要对公比q(q＝1和q≠1)进行讨论．这是解题时最容易忽视的问题，必须引起我们的注意．数列求和求和问题是数列的重点内容，也是高考的热点，在高考题中可以夸张地说，“无和不成数列”.求和问题方法较多，技巧性较强．等差数列、等比数列的前n项和用公式法求和；能拆分为一个等差数列和一个等比数列的，求和应用拆分法求和；能化归为一个等差数列和一个等比数列的积的数列，用错位相减法求和；数列通项能拆为两项的差，各项相加后能消掉中间项的数列可用拆项法求和．求数列{n(2n＋1)}的前n项和Sn.【分析】令an＝n(2n＋1)，则an＝n·2n＋n，其中{n·2n}可用错位相减法求和，而{n}是等差数列，用公式法求和．例例33【解】令an＝n(2n＋1)，则an＝n·2n＋n.∴Sn＝(1·21＋1)＋(2·22＋2)＋(3·23＋3)＋…＋(n·2n＋n)＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．令Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①∴2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，②①－②得－Tn＝1·21＋1·22＋1·23＋…＋1·2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝2(2n－1)－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1－2(2n－1)＝(n－1)2n＋1＋2.而1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，∴Sn＝(n－1)2n＋1＋n2＋n＋42.【点评】数列的求和问题是数列中的重点问题，要掌握一些简单数列的求和方法．数列的实际应用数列的应用问题的学习已成为高中数学学习与研究的一个重要内容，现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度、堆积物品总数等实际问题，都需要用数列的知识加以解决．解答数列应用问题的核心是建立模型，其基本步骤如下：某地区位于沙漠边缘地带，到2009年底该地区的绿化率只有30%，计划从2010年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16%，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．(1)设该地区的面积为1,2009年年底绿洲面积为a1＝310，经过一年绿洲面积为a2，…，经过n年绿洲面积为an＋1，求证：an＋1＝45an＋425；例例44(2)求...
