第二节双曲线知识自主·梳理最新考纲掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．高考热点以客观题的形式考查双曲线的定义、离心率、渐近线、焦半径等知识.1.双曲线的定义．(1)第一定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a.①当时，P点的轨迹是；②当时，P点的轨迹是；③当时，P点的轨迹不存在．(2)第二定义：平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l距离的比是常数e，且x的轨迹是双曲线．定点F是，定直线l是，常数e是双曲线的．a＜c双曲线a＝c以F1、F2为端点的两条射线a＞ca＞c焦点焦点离心率2．双曲线的几何性质.标准方程＝1(a＞0，b＞0)＝1(a＞0，b＞0)中心(0,0)(0,0)顶点(a,0)，(－a,0)(0，a)，(0，－a)范围|x|≥a|y|≥a标准方程＝1(a＞0，b＞0)＝1(a＞0，b＞0)焦点(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)准线方程x＝，x＝－y＝，y＝－渐近线y＝x，y＝－x，y＝x，y＝－x3.双曲线特例．(1)等轴双曲线的方程可为．(2)共轭双曲线的方程可为.(3)共渐近线的双曲线的方程可为．x2－y2＝λ(λ≠0)4．双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.5．双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点构成△PF1F2称做焦点三角形，∠F1PF2＝θ.(1)θ＝．(2)S△PF1F2＝＝＝＝.6．与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为．.7．以＝0为渐近线的双曲线方程为.c|y0|(1)对于双曲线的第一定义，应注意：①若点P在双曲线的左支上，则有|PF2|－|PF1|＝2a；若点P在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a(其中F1、F2分别为双曲线的左、右焦点)；②2c＞2a是双曲线定义中的隐含条件．若c＝a，则轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(向外)；若c＜a，则无轨迹．(2)与椭圆类似，双曲线的标准方程有两种形式，具体是哪一种形式，由焦点位置确定．若给定标准方程x2m－y2n＝1(m，n同号)，判定焦点位置的方法是：m＞0，n＞0，焦点在x轴上；m＜0，n＜0，焦点在y轴上．重点辨析方法规律·归纳题型一双曲线定义的应用思维提示①准确理解定义②定义的灵活应用[分析]在△PF1F2中利用余弦定理得出|F1F2|、|PF1|、|PF2|的关系，再利用双曲线定义，得到|PF1|·|PF2|与a、b、c的关系，再利用三角形面积得到关于a，b，c的方程，解方程组求得a，b，c，从而得到双曲线方程．[规律总结]在利用双曲线定义解题时，要注意焦点三角形中余弦定理的应用，即||PF1|－|PF2||＝2a与|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2的联系.备考例题1已知椭圆x2a21＋y2b21＝1(a1＞b1＞0)与双曲线x2a22－y2b22＝1(a2＞0，b2＞0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点．(1)试用b1，b2表示△F1PF2的面积；(2)当b1＋b2＝m(m＞0)是常数时，求△F1PF2面积的最大值．所以sinθ＝2b1b2b21＋b22.所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝12(a21－a22)·2b1b2b21＋b22＝b1b2.(2)当b1＋b2＝m(m＞0)为常数时，S△F1PF2＝b1b2≤(b1＋b22)2＝m24，所以△F1PF2面积的最大值为m24.例2已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．[分析]已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．已知渐近线方程也可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．题型二求双曲线的标准方程思维提示①注意双曲线方程的标准形式②双曲线方程的设法解法二： 双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0.∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0，∴可设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)． 双曲线经过点P(4,3)，∴424－32＝λ，∴λ＝－5，∴所求的双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.解法二：设与椭圆x213＋y23＝1共焦点的双曲线方程为x213－k＋y23－k＝1(3＜k＜13)，即x213－k－y2k－3＝1.∴a＝13－k，c＝10.∴离心率e＝ca＝1013－k，即1013－k＝52，解得k＝5，∴所求双曲线方程为x28－y22＝1.题型三双曲线几何性质的应用思维提示①熟练掌握双曲线的几何性质...
