高考数学一轮总复习名师精讲 第60讲函数极限与函数的连续性课件VIP免费

第六十讲函数极限与函数的连续性回归课本1.当x→∞时，函数f(x)的极限当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作limx→＋∞f(x)＝a，也可记作当x→＋∞时，f(x)→a.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作limx→－∞f(x)＝a，也可记作当x→－∞时，f(x)→a.如果limx→＋∞f(x)＝a且limx→－∞f(x)＝a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作limx→∞f(x)＝a，也记作当x→∞，f(x)→a.对于常数f(x)＝C(x∈R)，也有limx→∞C＝C.2．当x→x0时，函数f(x)的极限当自变量x无限趋近于常数x0(但x≠x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a，记作limx→x0f(x)＝a，也可记作当x→x0时，f(x)→a，limx→x0f(x)也叫做函数f(x)在点x＝x0处的极限．3．函数的左、右极限如果当x从点x＝x0左侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a时，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作limx→x0＋f(x)＝a.且limn→x0－f(x)＝limx→x0＋f(x)＝a⇔limx→x0f(x)＝a.4．函数极限的四则运算法则如果limx→x0f(x)＝a，limx→x0g(x)＝b，那么limx→x0[f(x)±g(x)]＝a±b；limx→x0[f(x)·g(x)]＝a·b；limx→x0fxgx＝ab(b≠0)．5．函数连续性的概念(1)如果函数f(x)在点x＝x0处及其附近有定义，而且limx→x0f(x)＝f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续．(2)如果函数f(x)在点x＝x0处及其右侧(或左侧)有定义，而且limx→x0＋f(x)＝f(x0)[或limx→x0－f(x)＝f(x0)]，就说函数f(x)在点x0处右连续(或左连续)．(3)若f(x)在(a，b)内每一点都连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在闭区间[a，b]上连续．6．连续函数的性质(1)最大值、最小值定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值．(2)如果函数f(x)，g(x)在点x＝x0处连续，那么f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，fxgx(g(x)≠0)在点x＝x0处都连续．考点陪练1.下列命题正确的是()A．函数极限的值是函数值B．函数在x＝x0处的左、右极限都存在，则函数在x＝x0处的极限存在C．函数在x＝x0处无定义，则函数在x＝x0的极限不存在D．函数在x＝x0的极限存在，函数在x＝x0处可能无定义答案：D解析：函数在x＝x0的极限存在，其意义为limx→x0－f(x)＝x→x0＋f(x)．此极限值与f(x0)没有关系，即f(x)在x＝x0处可有定义也可无定义．答案：A2．已知m∈N*，a，b∈R，若limx→01＋xm＋ax＝b，则a·b＝()A．－mB．mC．－1D．1解析：由题意知limx→01＋Cm1x＋Cm2x2＋…＋Cmmxm＋ax＝b.∴a＋1＝0，b＝Cm1＝m，∴a·b＝－m.答案：A3.limx→1x2－3x＋2x2－1等于()A．－12B.12C．1D．0解析：limx→1x2－3x＋2x2－1＝limx→1x－2x－1x＋1x－1＝limx→1x－2x＋1＝－12.答案：B4．设正数a，b满足limx→2(x2＋ax－b)＝4，则limn→∞an＋1＋abn－1an－1＋2bn＝()A．0B.14C.12D．1解析：由条件可得4＋2a－b＝4⇒ab＝12，limn→∞an＋1＋abn－1an－1＋2bn＝limn→∞a2abn－1＋aabn－1＋2b＝a2b＝14.故选B.5．在x＝2处连续，则a＝________.解析： x>2时，f(x)＝3x＋2x2－4－2x－2＝x－2x2－4＝1x＋2，且f(x)在x＝2处连续，∴x＝2时，f(x)＝12＋2＝14，∴a＝14.答案：14类型一x→∞型函数的极限解题准备：在数列极限中n→∞.只表示n→＋∞，在函数极限中，x→∞表示x→＋∞和x→－∞两种变化趋势，故在研究或讨论“x→∞时f(x)的极限”时需分别讨论x→＋∞和x→－∞两种变化趋势下的f(x)的极限．【典例1】求下列函数的极限：(1)limx→∞2x2＋x－43x3－x2＋1；(2)limx→∞(x2＋1－x2－1)；(3)limx→＋∞4x4x－1；(4)limx→＋∞4x·2x＋1x·3x－1.[解析](1)limx→∞2x2＋x－43x3－x2＋1＝limx→∞2x2x3＋xx3－4...