第40课抛物线1.抛物线的定义的应用(1)(2017全国Ⅱ,5分)已知F是抛物线C:y2＝8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则||FN＝________.答案:6解析:由抛物线C:y2＝8x得p＝4,∴抛物线的焦点F的坐标为(2,0). M是FN的中点,点N在y轴上,∴根据中点坐标公式,得xM＝2＋02＝1.又 M在抛物线上,线上,∴FM＝xM+2P=3,||FN＝2FM＝3.(2)(2019汇编,10分)(Ⅰ)如图40－2所示,设抛物线y2＝4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()(2015浙江)图40－2A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1(Ⅱ)已知点A(0,2),抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若||FM||MN＝55,则p的值等于()(2018湖北调研)A.18B.14C.2D.4答案:(Ⅰ)A(Ⅱ)C解析:(Ⅰ)由题意可知抛物线的准线方程为x＝－1,如图所示,过A点作AA1⊥y轴于点A1,过B点作BB1⊥y轴于点B1,则S△BCFS△ACF＝||BC||AC＝||BB1||AA1＝||BF－1||AF－1.故选A.(Ⅱ)如图,抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0,过M作准线的垂线,垂足为K,则|MK|＝|FM|.又||FM||MN＝55,所以||MK||MN＝55,所以|KN|∶|MK|＝2∶1,所以直线FA的斜率是－2,即2－00－p2＝－2,解得p＝2.故选C.(3)(经典题,7分)已知抛物线的方程为x2＝8y,F是焦点,点A(－2,4),在此抛物线上求一点P,使||PF＋||PA的值最小.答案:－2，12解: (－2)2＜8×4,∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部,如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知||PF＋||PA＝||PQ＋||PA≥||AQ≥||AB,当且仅当P,Q,A,B四点共线时,两处等号成立,所以此时||PF＋||PA取得最小值,即||AB.(4分) A(－2,4),∴不妨设||PF＋||PA的值最小时,点P的坐标为(－2,y0),代入抛物线方程x2＝8y得y0＝12.∴使||PF＋||PA的值最小的抛物线上的点P的坐标为－2，12.(7分)2.抛物线的标准方程与几何性质a.已知抛物线的方程求焦点坐标和准线方程(4)(经典题,5分)抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________,准线方程为________.答案:14a，0x＝－14a解析:抛物线x＝ay2可化为y2＝1ax(a≠0),所以抛物线的焦点坐标为14a，0,准线方程为x＝－14a.b.利用定义法求抛物线的标准方程(与抛物线有关的轨迹问题)(5)(2019银川模拟,5分)点P到(1,0)的距离比其到直线x＋2＝0的距离少1,则点P的轨迹方程为________.答案:y2＝4x解析:由已知可得点P一定在x＋2＝0的右侧,否则P到(1,0)点的距离一定大于到x＋2＝0的距离.由P到(1,0)的距离比其到直线x＋2＝0的距离少1,可得P到(1,0)的距离与其到x＋1＝0的距离相等,故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x＋1＝0为准线的抛物线,其方程为y2＝4x.变式思考(2019改编,5分)已知点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－5的距离相等,则点P的轨迹方程为________.答案:y2＝18x＋9解析:设点P(x,y),则由题意,得（x－4）2＋y2＝||x＋5,化简整理得y2＝18x＋9,即点P的轨迹方程为y2＝18x＋9.c.利用待定系数法求抛物线的标准方程(6)(2019汇编,10分)(Ⅰ)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(－4,－2)的抛物线的标准方程是____________________.(Ⅱ)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为π4的直线l与抛物线相交于A,B两点,若以AB为直径的圆过点－p2，2,则该抛物线的方程为()(2018山东模拟)A.y2＝2xB.y2＝4xC.y2＝8xD.y2＝16x答案:(Ⅰ)y2＝－x或x2＝－8y(Ⅱ)B解析:(Ⅰ)当对称轴为x轴时,设抛物线为y2＝mx(m≠0),代入点P(－4,－2),解得m＝－1,则抛物线方程为y2＝－x；当对称轴为y轴时,设抛物线为x2＝ny(n≠0),代入点P(－4,－2),解得n＝－8,则抛物线方程为x2＝－8y.综上,所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.(Ⅱ)由题可知,抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0,准线方程为x＝－p2.因为直线l过点F且倾斜角为π4,所以直线l的方程为y＝x－p2.因为以AB为直径的圆过点－p2，2,且以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,所以AB的中点的纵坐标为2.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线的方程,得y＝x－p2，y2＝2px，消元得y2－2py－p2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝2p,则AB中点的纵坐标为y1...
