一轮复习讲义一轮复习讲义曲线与方程1．曲线与方程如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．忆一忆知识要点曲线C解要点梳理3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．忆一忆知识要点公共解无解充要[难点正本疑点清源]1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．例1已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN→·MP→＝6|NP→|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x＋2y－12＝0距离的最小值．直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程设动点坐标，列式化简即可．解(1)设动点P(x，y)，则MP→＝(x－4，y)，MN→＝(－3,0)，PN→＝(1－x，－y)，由已知得－3(x－4)＝61－x2＋－y2，化简得3x2＋4y2＝12，即x24＋y23＝1.∴点P的轨迹方程是椭圆C：x24＋y23＝1.(2)由几何性质意义知，椭圆C与平行于l的切线l′的距离等于Q与l的距离的最小值．设l′：x＋2y＋D＝0.将其代入椭圆方程消去x，化简得：16y2＋12Dy＋3(D2－4)＝0.∴Δ＝144D2－192(D2－4)＝0⇒D＝±4，l′和l的距离的最小值为|12±4|5.∴点Q与l距离的最小值为855.(1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设标，列方程化简．其关键是根据条件列出方程来．(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．探究提高(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足MB→∥OA→，MA→·AB→＝MB→·BA→，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．变式训练1解(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)．又A(0，－1)，所以MA→＝(－x，－1－y)，MB→＝(0，－3－y)，AB→＝(x，－2)．再由题意可知(MA→＋MB→)·AB→＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.所以曲线C的方程为y＝14x2－2.(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝14x2－2上一点．因为y′＝12x，所以l的斜率为12x0.因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x20＝0.所以O点到l的距离d＝|2y0－x20|x20＋4.又y0＝14x20－2，所以d＝12x20＋4x20＋4＝12x20＋4＋4x20＋4≥2.当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.例2已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．相关点法相关点法((坐标转移法坐标转移法))求求轨迹方程轨迹方程三角形的重心坐标与△ABC的三个顶点坐标有关，又A、B的坐标已知，可知重心G的坐标与顶点C的坐标有关，根据点C的坐标...
