3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标重点难点1.记住空间向量的加法、减法、数乘向量以及数量积的坐标运算.2.会利用平行关系及垂直关系的坐标表示进行相应的判断和证明.3.记住并能应用向量的夹角公式、距离公式的坐标表示.重点:向量的坐标运算,夹角公式、距离公式以及平行与垂直条件的应用.难点:向量坐标的确定及公式的应用.1.空间向量运算的坐标表示若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);(4)a·b=a1b1+a2b2+a3b3;(5)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);(6)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;(7)|a|=222123aaaaa;(8)cos
=112233222222123123ab|a||b|·abababaaabbb.2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则(1)ABuuur=(a2-a1,b2-b1,c2-c1);(2)dAB=|ABuuur|=222212121(aa)(bb)(cc).预习交流(1)已知a=(1,2,-3),b=(2,0,4),则(a+b)·(a-b)=.提示:(a+b)·(a-b)=(3,2,1)·(-1,2,-7)=-3+4-7=-6.(2)已知向量a=11,,12与b=(1,2,x)垂直,则x的值为.提示:由a·b=0得-1+1+x=0,所以x=0.一、空间向量的坐标运算已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4),(2,-1,-2).若p=ABuuur,q=CDuuur,求下列各式的值:(1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)·(p+q);(4)cos.思路分析:先由点的坐标计算得到向量p,q的坐标,然后再进行各种运算.解:由于A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),所以p=ABuuur=(2,1,3),q=CDuuur=(2,0,-6).(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9).(2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15).(3)(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-(22+02+62)=-26.(4)cos=222222pq(2,1,3)(2,0,-6)|p||q|21320(-6)=1414210=-3510.设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算:(1)2a+3b;(2)3a-2b;(3)a·b;(4)(a+b)·(a-b).解:(1)2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16).(2)3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).(3)a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=6+5-32=-21.(4)(a+b)·(a-b)=[(3,5,-4)+(2,1,8)]·[(3,5,-4)-(2,1,8)]=(5,6,4)·(1,4,-12)=5+24-48=-19.1.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.二、平行与垂直条件的坐标表示已知向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值:(1)a∥b;(2)a⊥b.思路分析:利用向量平行、垂直的条件,分别建立关于x的方程,再解方程即可.解:(1) a∥b,∴a=λb,即(1,x,1-x)=λ(1-x2,-3x,x+1),∴21λ(1x),xλ(-3x),1xλ(x1),解得x=0或2.(2) a⊥b,∴a·b=0,即(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0.∴1-x2+(-3x)x+(x+1)(1-x)=0,整理得5x2-2=0.解得x=±105.1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以分别是().A.2,12B.-13,12C.-3,2D.2,2答案:A解析:显然应有μ=12,λ=2或-3.2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是().A.1B.15C.35D.75答案:D解析:依题意有(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=75.1.要熟练掌握两个向量平行和垂直的充分必要条件,借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.2.在应用坐标形式下的平行条件时,一定要注意结论成立的前提条件.在条件不明确时,要分类讨论.三、向量夹角与向量模的计算在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=14CD,H为C1G的中点,应用空间向量方法求解下列问题:(1)求证:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值;(3)求FH的长.思路分析:建立空间直角坐标系,确定点的坐标,然后利用向量的坐标运算来解决.解:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则有E10,0,2,F11,,022,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,...
