第十二章极限与导数第讲（第一课时）考点搜索●归纳法和数学归纳法的含义与作用●数学归纳法的证题步骤，及各步骤的作用高高考猜想1.利用数学归纳法证明数列背景下的有关问题.2.利用“归纳——猜想——证明”探索有关结论.1.从一系列有限的①得出②—————————的推理方法，叫做归纳法.2.对一个与正整数n有关的命题：第一步：验证当n取③时命题成立；第二步：假设当④时命题成立，证明当⑤时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从⑥开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.特殊事例一般结论第一个值n0n=k(kN*∈，k≥n0)n=k+1n03.数学归纳法需要完成两个步骤的证明，缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦————————的基础；第二步反映了无限递推关系，即命题的正确性具有⑧.若只有第一步，而无第二步，则只是证明了命题在特殊情况下的正确性；若只有第二步，而无第一步，那么假设n=k时命题成立就没有根据，递推无法进行.递推归纳传递性1.设那么f(n+1)-f(n)等于()D1111(*)1232fnnNnnnn，11A.B.21221111C.D.21222122nnnnnn解：111123211111212212211111.212212122fnfnnnnnnnnnnnnnn－2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原(n-2)个顶点连成的(n-2)条对角线，及原先的一条边成了对角线.故选C.C题型1用数学归纳法证明恒等式、不等式1.设nN*∈，求证：证明：(1)当n=1时，左边=右边所以等式成立.(2)假设n=k(kN*)∈时等式成立，即11111.212122nnnnn111123411122，11112，111111234212kk则当n=k+1时，所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知，对一切正整数n等式都成立.111.122kkk1111111123421221221111112221221111.232122kkkkkkkkkkkkk点评：运用数学归纳法证明恒等式(不等式)的要点是“两步一结论”，即第一步先验证初始结论；第二步是先假设n=k时命题成立，再由n=k时的命题作条件，推导n=k+1时结论也成立；一结论是指最后归纳前面两个步骤，得出原结论是成立的.所以当n=k+1时，不等式也成立.综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数,不等式都成立.2211111(1)(1)13521211212222484·2212212212114832321.2221221kkkkkkkkkkkkkkkkk＞＞［］题型2用数学归纳法证明整除性问题2.设a为实常数，nN*∈，证明:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除.证明：(1)当n=1时，a3+(a+1)3=(2a+1)［a2-a(a+1)+(a+1)2］=(2a+1)(a2+a+1).它能被a2+a+1整除，所以n=1时命题成立.(2)假设当n=k时，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，ak+3+(a+1)2k+3=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因为ak+2+(a+1)2k+1与a2+a+1都能被a2+a+1整除，所以上面的和也能被a2+a+1整除.即当n=k+1时，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整除.综合(1)(2)知，命题对任何nN*∈都成立.点评：用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形，即把n=k+1的命题形式通过添项配凑成n=k时的结论加除式的倍式的形式.已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否存在自然数m，使对任意nN*∈，都有m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；如果不存在，说明理由.解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想f(n)被36整除.证明：(1)当n=1时，猜想显然成立.(2)假设当n=k时，f(k)能被36整除，即(2k+7)·3k+9能被36整除.则当n=k+1时，f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).由假设知3［(2k+7)·3k+9］能被36整除，而3k-1-1是偶数，所以18(3k-1-1)能被36整除，从而f(k+1)能被36整除.综合(1)(2)知，对任意nN*∈，f(n)能被36整除.由于f(...
