椭圆的简单几何性质_()直线与椭圆的位置关系VIP专享VIP免费

2.1.2椭圆的简单几何性质（3）高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程直线与直线与椭圆椭圆的位置关系的位置关系尝试练习已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。若相离求椭圆上的点到已知直线的最短距离；若相切求交点坐标；若相交求直线被椭圆所截得的弦长。2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆>0因为所以，方程（１）有两个根，则原方程组有两组解直-----(1)线和椭圆相交。那么，相交所得的弦的弦长该如何求？22221212121222121212()()()+()6=2()2()425ABxxyyxxxxxxxxxx25410xx由由韦达定理51542121xxxx设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．且在y轴上的截距为b弦长公式：知识点2：弦长公式可推广到任意二次曲线221212=(-)+(-)xxkxkx221212=1+(+)-4kxxxx221212=(-)+(-)yyyykk2121221=1+(+)-4yyyyk同理当0k同理当=0k21212=(-)=-xxxx同理当斜率不存在时21212=(-)=-yyyy例1：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．题型二：弦长公式222::4,1,3.abc解由椭圆方程知(3,0).F右焦点:3.lyx直线方程为22314yxxy258380yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设1212838,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1FAB△的面积.分析:先画图熟悉题意,点1F到直线AB的距离易知,要求1FABS△,关键是求弦长AB.设1122(,),(,)AxyBxy.由直线方程和椭圆方程联立方程组题型二：弦长公式焦点，过2F作倾斜角为4的直线，求1FAB△的面积.解: 椭圆2212xy的两个焦点坐标12(1,0),(1,0)FF∴直线AB的方程为1yx由22112yxxy消去y并化简整理得设1122(,),(,)AxyBxy2340xx∴12124,03xxxx∴22221212121212()()2()2()4ABxxyyxxxxxx=423 点1F到直线AB的距离d0(1)12=2∴112FABSdAB=142223=43.答:1FAB△的面积等于43例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右例3：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差题型三：中点弦问题知识点3：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．112200(,),(,),(,)AxyBxyABMxy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122(,),(,)AxyBxy在椭圆上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa即2111221211AByyxxbkxxayy2020xbay直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题例4、如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。221axby22,AB22oxyABM22110axbyxy解:2)210yabxbxb消得:(2)(1)0babb=4-4(abab1122(,),(,)AxyBxy设121221,bbxxxxabab(,)baABMabab中点2212121()4ABkxxxx又MOakb222ba221222()4bbabab12,33ab练习：1、如果椭圆被的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0B、x+2y-4=0C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=02、过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_____...