第16讲导数在函数中的应用【学习目标】1．了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围．2．了解函数在某点取得极值的充要条件；会用导数求函数的极值；会求闭区间上的最大(小)值．【基础检测】1．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】 y＝12x2－lnx，∴y′＝x－1x，由y′≤0，解得－1≤x≤1，又x>0，∴0f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)【解析】依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C.C3．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________________________．【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.(∞－，－1)(2∪∞，＋)4．函数y＝x＋2cosx在0，π2上取得最大值时x的值为________．【解析】y′＝(x＋2cosx)′＝1－2sinx，令1－2sinx＝0，且x∈0，π2时，x＝π6.当x∈0，π6时，f′(x)≥0，f(x)是单调增函数，当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减．∴f(x)max＝fπ6.π6【知识要点】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值________，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧____________，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．都小f′(x)<0f′(x)>0(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一、利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝ex＋ax－1(a∈R，且a为常数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对所有x≥0都有f(x)≥f(－x)，求a的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝ex＋a，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋∞)上是单调增函数；由f′(x)<0，得x0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件而不是必要条件，如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：∀x∈(a，b)，都有f′(x...
