第五节双曲线重点难点重点：双曲线定义、标准方程与几何性质．难点：双曲线几何性质的应用和求双曲线方程．知识归纳1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．2．双曲线的标准方程与几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2cc2＝a2＋b2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca(e>1)性质渐近线xa±yb＝0(或y＝±bax)xb±ya＝0(或y＝±abx)3.双曲线的形状与e的关系： 双曲线渐近线的斜率k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，∴e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．4．基础三角形如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝c，tan∠AOB＝ba，△OF2D中，|F2D|＝b.5．共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在轴上．xy误区警示1．注意双曲线的几何量a、b、c关系是c2＝a2＋b2应与椭圆区别．双曲线的离心率e>1，而椭圆的离心率0
|F1F2|时，动点轨迹不存在．二是含绝对值号，当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所在一侧的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所在一侧的一支．4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax，而双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±abx(即x＝±bay)应注意其区别与联系．5．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点．一、数学思想的应用1．在双曲线的几何性质的讨论中，要注意方程思想的应用．2．求双曲线的方程，离心率等，常常要讨论焦点在哪个轴上．3．求取值范围的问题、最值问题要注意函数思想的应用．4．圆锥曲线的大部分题目，结合图形分析更有利于思路的打通．二、解题技巧1．巧设双曲线方程(1)已知双曲线上两点坐标，可设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．(2)若所求双曲线与x2a2－y2b2＝1有公共渐近线，或者已知其渐近线方程为y＝±bax，可设其方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)若双曲线与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点相同，则可设其方程为x2a2－λ＋y2b2－λ＝1(b2<λ
