四种命题及其关系【例1】设原命题是“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【解析】逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．对于命题，要注意大前提以及命题的条件和结论．在写命题的其他形式时，大前提一般不动，只是对条件和结论作相应的改写．【变式练习1】已知命题p：“若a≥0，则方程x2＋x－a＝0有实数根”．写出命题p的否命题和逆否命题，并分别判断其真假．【解析】否命题：若a＜0，则方程x2＋x－a＝0没有实数根，该命题是假命题．逆否命题：若方程x2＋x－a＝0无实数根，则a＜0，该命题为真命题．充分、必要条件的判断【例2】在下列四个结论中，正确的是__________．(填上你认为正确的所有答案的序号)“①x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；“③a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R”的充要条件；“④x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．【解析】①因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1，x＋|x|＝0，而x＋|x|>0x≠0，故①正确；因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x＝－1时，有x2≠1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件，所以①③正确．答案：①③判断充分条件和必要条件可以从逻辑上判断，也可以从命题的关系上判断，还可以从集合的角度判断，同时，要善于通过举反例说明一个命题不成立．【变式练习2】(2012·如皋期中卷)“|x－1|<2成立”是“(x＋1)(x－3)<0成立”的充要条件(请在“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“既非充分也非必要条件”选择一个最恰当的结果填在横线上)．【解析】由|x－1|<2可得，－2b，则2a>2b－1”的否命题为______________________.若a≤b，则2a≤2b－14.给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为①②③.【解析】①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；③...
