第十四章计数原理与二项式定理1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的含义，掌握分类和分步的方法，能用这两个原理解决具体计数问题．2．理解排列、组合的概念和意义，掌握有附加条件的排列与组合的计数方法，熟练排列数与组合数公式．3．理解并掌握二项式定理的项数、指数、通项，能够运用展开式的通项求展开式中待定的项．在处理排列组合问题时的基本思想是先组合后排列，有特殊元素先考虑特殊元素．尤其分类讨论时注意不重复不遗漏．1．分类加法原理与分布乘法原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．m1＋m2＋…＋做一件事，完成它要分成n个步骤，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，…，第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝___________种不同的方法．m1·m2·…·mn第1讲排列与组合mn表示，且2．排列与排列数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从m个不同元素中取出An个元素的排列数，用AnmAn＝_________________________＝.3．组合与组合数n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．n！n－m！mmn表示，且Cn＝(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmmnn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！.1．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合M、N中各选一个数分别作为点的横坐标和纵坐标，则在第一、二象限内不同的点个数为()BA．4C．8B．6D．122．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A．56B．65C.5×6×5×4×3×22D．6×5×4×3×2A3．如图14－1－1，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2)B块种不同的花，则不同的种法总数为(A．96B．84C．60D．48解析：若A、C种相同的花，则有4×3×3＝36种种法；若A、C种不同的花，则有4×3×2×2＝48种种法，则共有36＋48＝84.图14－1－14．从5名男同学，3名女同学中选3名参加公益活动，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有____种(用数字作答)．455．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日．不同的安排方法共有_______种．2400解析：共有A5·A5＝2400种不同的安排方法．25考点1排列问题例1：7位同学站成一排照相．(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解题思路：(1)(2)(3)中我们先考虑甲、乙的位置，再考虑其他人．(4)中将甲、乙看成一个整体，与其他人的排列，(5)中应先排其他人再排甲、乙．(6)是一个定序问题，根据对称性求解．解析：(1)甲的位置固定，则只需排其他六个人，则有A66＝720.(2)分两步，先排甲、乙，则有A22种排法；再排其他5个人，有A55种方法，由分步乘法原理则有A22·A55＝240.(3)直接法：分两种情况：①甲站在排尾，则有A66种排法；②甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，则有C15·C15·A55，综上，则共有A66＋C15·C15·A55＝3720种排法．间接法：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情况，但是这就把甲站在排头，乙站在排尾的情况减了两次，故后面要加回来，即A77－A66－A66＋A55＝3720种排法．(4)采用“捆绑”法，将甲乙看成一整体进行排列(甲乙之间也有排列)，故有A22·A66＝1440种排法．(5)采用“插空”法，先排其他5个人，然后将甲乙插入到6个空格中，故有A5...
