第二课时空间向量与空间角学习目标重点难点1.记住线面角、二面角以及二面角的平面角的概念.2.能够学会利用空间向量求空间角的大小.3.能分清向量的夹角与各种空间角的关系.重点:用空间向量求各种空间角的大小.难点:线面角的求法.1.异面直线所成的角的求法设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=|cos
|=||||||abab.预习交流1两条异面直线所成的角就是它们的方向向量的夹角吗?提示:不是,两条异面直线所成的角只能是锐角或直角.而它们的方向向量的夹角可能是锐角或直角,也可能是钝角.当两方向向量的夹角是钝角时,其补角才是两异面直线所成的角.2.直线与平面所成的角的求法设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos|=||||||anan.预习交流2直线与平面所成的角θ和直线的方向向量与平面的法向量的夹角有什么关系?提示:直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角α和直线与平面所成的角θ互为余角,即θ=π2-α.因此sinθ=cosα.3.二面角的求法(1)设二面角α-l-β的平面角为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=|cos|=1212|nn||n|||n.(2)二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角.在两个半平面内,各取一直线与棱垂直,当直线的方向向量的起点在棱上时,两方向向量的夹角即为二面角的平面角.预习交流3(1)已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,1),直线l2的一个方向向量为b=(2,-2,0),则两直线所夹角的余弦值为().A.1B.63C.33D.32提示:|cos|=||||||abab=22|212210|141440=63243.(2)已知直线m的方向向量是(-3,1,22),平面α的一个法向量是(0,-2,-42),则直线m与平面α所成的角等于.提示:设直线m与平面α所成的角为θ,则sinθ=222222|(-3,1,22)(0,-2,-42)|32(-3)1(22)0(-2)(-42),所以θ=60°.一、异面直线所成的角如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.当θ=π3时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.思路分析:在坐标系中确定点A,C,V,D的坐标,然后求出向量uuurAC,uurVD的坐标,即可运用公式求解.解:由于AC=BC=2,D是AB的中点,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0).当θ=π3时,在Rt△VCD中,CD=2,故V(0,0,6).所以uuurAC=(-2,0,0),uurVD=(1,1,-6).所以cosuuurAC,uurVD=2222||||uuuruuruuuruurACVDACVD=-24.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为24.1.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为().A.52266B.-52266C.52222D.-52222答案:A解析:uuurAB=(2,-2,-1),uuurCD=(-2,-3,-3),而cosuuurAB,uuurCD=552266322||||uuuruuuruuuruuurABCDABCD,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于().A.105B.155C.45D.23答案:B解析:以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2).故uuurOE=(-1,1,1),1uuurFD=(-1,0,2),cosuuurOE,1uuurFD=11315535||||uuuruuuruuuruuurOEFDOEFD,故OE与FD1所成角的余弦值是155.利用空间向量求两条异面直线所成的角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,只需通过相应的向量运算即可,但应注意:用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的,而两条异面直线所成角θ的取值范围是π0,2,两向量的夹角α的取值范围是[0,π],所以要注意二者的联系与区别,应有cosθ=|cosα|.二、直线与平面所成的角正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.思路分析:利用正三棱柱的性质,建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时有两种思路:一种是由定义找出线面角;另一种是利用平面AB1的法向量n求解.解:解法一:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,2a),C13a,,2a22a,取A1B1的中点M,则M0,,2a2a,连接AM,MC1,有1...
