第二课时空间向量与空间角学习目标重点难点1
记住线面角、二面角以及二面角的平面角的概念
能够学会利用空间向量求空间角的大小
能分清向量的夹角与各种空间角的关系
重点:用空间向量求各种空间角的大小
难点:线面角的求法
异面直线所成的角的求法设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=|cos|=||||||abab
预习交流1两条异面直线所成的角就是它们的方向向量的夹角吗
提示:不是,两条异面直线所成的角只能是锐角或直角
而它们的方向向量的夹角可能是锐角或直角,也可能是钝角
当两方向向量的夹角是钝角时,其补角才是两异面直线所成的角
直线与平面所成的角的求法设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos|=||||||anan
预习交流2直线与平面所成的角θ和直线的方向向量与平面的法向量的夹角有什么关系
提示:直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角α和直线与平面所成的角θ互为余角,即θ=π2-α
因此sinθ=cosα
二面角的求法(1)设二面角α-l-β的平面角为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=|cos|=1212|nn||n|||n
(2)二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角
在两个半平面内,各取一直线与棱垂直,当直线的方向向量的起点在棱上时,两方向向量的夹角即为二面角的平面角
预习交流3(1)已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,1),直线l2的一个方向向量为b=(2,-2,0),则两直线所夹角的余弦值为()
32提示:|cos|=||||||abab=22|212210|141440=63243
(2)已知直线m的方向向量是(-3,1,22),平面α的一个法向量是(0,-2,-42),则直线m
