§3条件概率•一、条件概率•二、事件的独立性一、条件概率许多情况下，我们会遇到在事件A发生的条件下求事件B的概率问题，我们把这个概率称为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。记作：P(B/A)（课本）定义1：设A、B是样本空间S中的两个事件，且P(A)>0，称)()()(APABPABP为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。说明：假设试验重复了n次，事件A发生了m次，事件B发生了k次，事件AB发生了r次，则事件A发生的频率为：m/n事件B发生的频率为：k/n事件AB发生的频率为：r/n在事件A发生的条件下事件B发生的频率为：r/m由于B(),()()rrpABnAmmpBAn即p(|)BAPABBABB在发生的条件下包含的样本点数＝在发生的条件下样本点数包含的样本点数＝包含的样本点数ABPABBPB包含的样本点数/总数（）＝＝包含的样本点数/总数（）例盒中有球如表.任取一球玻璃木质总计红蓝2347511总计61016若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率.变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.A:取得是蓝球,B:取得是玻璃球)|(ABP)()(APABP1141611164)|(BAP)()(BPABP64166164解.分别用A、B表示两个随机事件：A={第一次取出的是黑球}，B={第二次取出的是黑球}；问题转化为计算条件概率P(B|A)，根据定义，需要求出概率P(AB)与P(A)。例1.4.1假定盒中装有3个黑球和2个白球，无放回接连取两个小球，已经知道第一次取出的是黑球，问第二次也取出黑球的概率是多少？①交事件AB含义是“从3个黑球和2个白球的5个小球中无放回地接连取出两个，取到的都是黑球”因此P(AB)=C32×C20/C52=0.3；②P(A)有两种不同的解法，依赖于如何构造Ω。解法一：以两次抽样的结果来构造样本空间，需要考虑顺序，因此样本空间的样本点总数是P52=20。根据乘法原理，“第一次取出的是黑球”包含的样本点个数有3×4=12，因此P(A)=12/20=0.6；解法二：以第一次抽样的结果来构造样本空间，从5个小球(包含了3个黑球)中随机取出一个，因此P(A)=3/5=0.6；最后，根据条件概率的定义，有：P(B|A)=0.3/0.6=0.5。□二、事件的独立性•由条件概率我们知道，一般情况下P(B/A)≠P(B)，但有时也会出现P(B/A)=P(B)的情况。•例如：同时抛掷两枚均匀的硬币•记A={第一枚出现正面}，B={第二枚出现正面}•显然P(B)=1/2，P(B/A)=1/2,也就是说，A事件发生与否不影响事件B发生的概率，即P(B/A)=P(B)，这时我们称事件A与B是相互独立的。•在事件A与B相互独立的情况下，乘法公式变得非常简单，即•P(AB)=P(A)P(B)•我们就用上式来定义事件的独立性•定义：设A、B为两事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)则称A与B是相互独立的。例：从一幅不含大小王的扑克牌中任抽一张，记A=“抽到K”，B=“抽到黑色的牌”，问事件A与B是否独立？解：P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2，P(AB)=2/52=1/26，所以P(AB)=P(A)P(B)即A与B是相互独立的。注：实际应用中，对于事件的独立性我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来判断。例例1:1:甲、乙、丙三人进行射击，甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.55,丙击中目标的概率为0.45。令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。（1）求三人都击中目标的概率。（2）求目标被击中的概率。(1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.1485第一章小结1.概率论基本概念2.事件间的关系和运算3.概率的基本性质4.古典概型与几何概型5.条件概率、乘法公式及事件的独立性6.全概公式与贝叶斯公式
