高中数学 第29讲简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修4 课件VIP专享VIP免费

第第2929讲讲简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换.1.在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1，则△ABC是()AA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形由两角和的正弦公式得sinA≥1.由弦函数有界性知，sinA=1，得A=90°.2.化简：-=()B1sin81cos82A.-sin4B.2cos4-sin4C.sin4-2cos4D.2sin4-cos4原式=-=|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos4<0,cos4＜0,所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.12sincos422cos423.化简：-cos2x+cos4x=.381218sin4x原式=-(2cos2x-1)+(2cos22x-1)=-cos2x+cos22x=-cos2x+(2cos2x-1)2=1-2cos2x+cos4x=（1-cos2x）2=sin4x.381812341434144.若A-B=,tanA-tanB=,则cosA·cosB=.623334tan(A-B)==,所以1+tanA·tanB=2，即=2，所以cosA·cosB=cos(A-B)=.tantan1tantanABAB33coscossinsincoscosABABAB12345.化简：tanα+tanβ+tanα·tanβ·tan(α+β)=.tan(α+β)由tan(α+β)＝,可得tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ),所以tanα+tanβ+tanα·tanβ·tan(α+β)=tan(α+β).tantan1tantan三角变换的基本题型——化简、求值和证明(1)化简.三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值.依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.(2)求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.①给角求值的关键是正确地分析角（已知角与未知角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角.(3)证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.题型一题型一恒等变换下的化简求恒等变换下的化简求值值典例精讲典例精讲例1已知：tan2θ=-,2θ(,∈π),求的值.22222cossin122sin()4tan2θ=-=-，解得tanθ=-或tanθ=，因为2θ(,∈π),所以θ∈（，）,所以tanθ＞0，所以tanθ=.====2222tan1tan22222224222cossin122sin()4cossin2(sincoscossin)44cossinsincos1212223对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的纽带.点评点评题型二题型二恒等变换下的拆角求恒等变换下的拆角求值值例2已知cos(α-)=-，sin(-β)=,且<α<π，0<β<π，求cos的值.22221923分析分析抓住已知角(α-)，(-β)与目标角的关系：=(α-)-(-β)，因此先求得sin(α-)，cos(-β)的值，再代公式.22222222因为<α<π，0<β<π，所以0<α-<π，-<-β<.又因为cos(α-)=-<0,sin(-β)=>0,所以<α-<π，0<-β<，所以sin(α-)===.2219342222322222221cos()2211()9459cos(-β)===,故cos=cos[(α-)-(-β)]=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)=(-)×+×=.1922221sin()2221()3532222253459237527点评点评根据已知角与目标角的联系，将题目中的“目标角整体”变成“已知角整体”之间的“和、差、倍、半、余、补、负”，应用已知条件，直接解决问题.常用“凑角”技巧：α＝(α-β)+β=(α+β)-β，2α+β=(α+β)+α，α=+，β=-，2α=(α-β)+(α+β)等.2222变式变式变式已知cosα=,cos(α+β)=-,且α(0∈，),α+β(∈，π),求β的值.17111422因为α(0,)∈，且cosα=，所以sinα==，又因为α+β(,∈π），cos(α+β)=-，所以sin(α+β)==，21721cos4372111421cos()5314所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+s...