第4讲数学归纳法及其应用知识梳理1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．n＝k＋1第一个值n0(n0∈N*)2．数学归纳法的框图表示辨析感悟1．数学归纳法原理(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(×)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(×)2．数学归纳法的应用(4)(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于3.(√)(5)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2时等式成立．(√)(6)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(×)[感悟·提升]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，如(4)，检验n的值从n＝3开始，因此(1)不正确．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法，如(3).考点一用数学归纳法证明等式【例1】(2012·天津卷改编)已知等差数列{an}的公差为3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为2，且a1＝b1＝2.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．审题路线(1)代入等差、等比数列的通项公式求an，bn；(2)注意到所证结论是关于“n”的命题，可运用数学归纳法证明．(1)解由a1＝2，公差d＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.在等比数列{bn}中，公比q＝2，首项b1＝2，∴bn＝2·2n－1＝2n.(2)证明①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；②假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，当n＝k＋1时，Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.因此n＝k＋1时等式也成立．由①、②可知，对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.【训练1】求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．这就是说当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)、(2)知，对n∈N*，原等式成立．考点二用数学归纳法证明不等式【例2】由下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．审题路线观察前4个式子，左边的项数及分母的变化⇒不难发现一般的不等式为1＋12＋13＋…＋12n－1>n2(n∈N*)，并用数学归纳法证明．解一般结论：1＋12＋13＋…＋12n－1>n2(n∈N*)，证明如下：(1)当n＝1时，由题设条件知命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，猜想正确．即1＋12＋13＋…＋12k－1>k2.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1>k2＋12k＋...
