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高考数学总复习 第4讲 数学归纳法及其应用课件VIP免费

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第4讲数学归纳法及其应用知识梳理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.n=k+1第一个值n0(n0∈N*)2.数学归纳法的框图表示辨析感悟1.数学归纳法原理(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(×)(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(×)2.数学归纳法的应用(4)(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步检验n等于3.(√)(5)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…-1n=21n+2+1n+4+…+12n时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n=k+2时等式成立.(√)(6)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(×)[感悟·提升]1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据.2.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1,而是根据题目要求选择合适的起始值,如(4),检验n的值从n=3开始,因此(1)不正确.第(2)步,证明n=k+1时命题也成立的过程,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法,如(3).考点一用数学归纳法证明等式【例1】(2012·天津卷改编)已知等差数列{an}的公差为3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为2,且a1=b1=2.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).审题路线(1)代入等差、等比数列的通项公式求an,bn;(2)注意到所证结论是关于“n”的命题,可运用数学归纳法证明.(1)解由a1=2,公差d=3,∴an=a1+(n-1)d=3n-1.在等比数列{bn}中,公比q=2,首项b1=2,∴bn=2·2n-1=2n.(2)证明①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立;②假设当n=k时等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,当n=k+1时,Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12,即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1时等式也成立.由①、②可知,对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立.规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.【训练1】求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).证明(1)当n=1时,等式左边=2,右边=21·1=2,∴等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1).当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)(2k+2)=2·(k+1)(k+2)(k+3)·…·(k+k)·(2k+1)=2·2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1)=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1).这就是说当n=k+1时,等式成立.根据(1)、(2)知,对n∈N*,原等式成立.考点二用数学归纳法证明不等式【例2】由下列不等式:1>12,1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+13+…+115>2,…,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.审题路线观察前4个式子,左边的项数及分母的变化⇒不难发现一般的不等式为1+12+13+…+12n-1>n2(n∈N*),并用数学归纳法证明.解一般结论:1+12+13+…+12n-1>n2(n∈N*),证明如下:(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确.即1+12+13+…+12k-1>k2.当n=k+1时,1+12+13+…+12k-1+12k+…+12k+1-1>k2+12k+...

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