函数及其性质函数及其性质知识要点知识要点一、映射与函数1.映射设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．2.函数一般地，设一般地，设AA、、BB是两个是两个非空的数集非空的数集，，如果按某种如果按某种对应法则对应法则ff,,对于集合对于集合AA中的每中的每一个元素，在集合一个元素，在集合BB中都有唯一的元素中都有唯一的元素yy和它对应和它对应,,这样的对应叫做从这样的对应叫做从AA到到BB的一的一个函数个函数,,通常记为通常记为y=f(x),x∈Ay=f(x),x∈A.A.A称为函数的称为函数的定义域定义域,y,y的集合的集合CBCB称为函数的称为函数的值域值域..即函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射.定义域、对应法则是函数的两大要素,值域是由定义域和对应法则所确定的第三要素.对应法则是函数的核心。3.函数的图象C(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)(2)画法画法11、、描点法描点法；；根据函数解析式和定义域，求出根据函数解析式和定义域，求出x,yx,y的一些对应的一些对应值并列表，以值并列表，以(x,y)(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来，最后用平滑的曲线将这些点连接起来..利用这种方法作图时，要与研究函数的性质结合起来利用这种方法作图时，要与研究函数的性质结合起来进行，以简化过程进行，以简化过程..22、、图象变换法图象变换法（三角函数讲）（三角函数讲）常用变换方法有三种，常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)(3)作用作用：：11、直观的看出函数的性质；、直观的看出函数的性质；22、利用数形结合的方法、利用数形结合的方法分析解题的思路。分析解题的思路。提高解题的速度。提高解题的速度。发现解题中的错误。发现解题中的错误。4.4.函数的表示法：函数的表示法：解析法：便于算出函数值解析法：便于算出函数值列表法：便于查出函数值列表法：便于查出函数值图象法：便于量出函数值图象法：便于量出函数值55、分段函数、分段函数（见课本（见课本P31P31例例33））在定义域的不同部分上有不同的解析表在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。必须把自变量代入相应的表达式。66、复合函数、复合函数（见课本（见课本P29P29思考。运用）思考。运用）如果如果y=f(u),(uy=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),∈M),u=g(x),(x∈A),且且{g(x)}M,{g(x)}M,则则y=f[g(x)]=F(x)y=f[g(x)]=F(x)，，(x∈A)(x∈A)称为称为ff、、gg的复合函数。的复合函数。二、函数的定义域二、函数的定义域1.1.能使函数式有意义的实数能使函数式有意义的实数xx的集合称为函数的的集合称为函数的((自然）定义域自然）定义域..2.2.求函数的定义域时列不等式组的主要求函数的定义域时列不等式组的主要依据依据是：是：(1)(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)(2)偶次方根的被开方数不小于零；偶次方根的被开方数不小于零；(3)(3)对数式的真数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于1.1.(5)(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的而成的..那么，它的定义域是使各部分都有意义那么，它的定义域是使各部分都...
