第六节双曲线抓基础明考向提能力教你一招我来演练第八章平面解析几何[备考方向要明了]考什么了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质.怎么考1.双曲线的定义，标准方程及几何性质是命题的热点．2.题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度中等偏低，解答题很少考查直线与双曲线的位置关系但个别省份也偶有考查.一、双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的，两焦点之间的距离叫做双曲线的．差的绝对值焦距焦点二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形范围对称性对称中心：对称中心：对称轴：对称轴：性质顶点顶点坐标A1，A2顶点坐标A1，A2x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a原点坐标轴原点坐标轴(－a,0)(0,－a)(a,0)(0，a)性质渐近线离心率e＝，e∈，其中c＝实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．y＝±baxy＝±abxca(1，＋∞)A1A2B1B22baba2＋b22a性质通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为.a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)2b2a1．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±2x答案：A解析：由题意知y22－x22＝1，y＝±x.2．(教材习题改编)设F1、F2是双曲线x2－y224＝1的两焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24D．48解析：由3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2.∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝10，∴△PF1F2直角三角形．∴S＝12×6×8＝24.答案：C3．若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2答案：A解析：焦点(c,0)到渐近线y＝bax的距离bca2＋b2＝2a，则b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴离心率e＝ca＝5.解析：双曲线方程mx2＋y2＝1化为标准形式：y2－x2－1m＝1，则有a2＝1，b2＝－1m，∴2a＝2,2b＝2－1m，∴2×2＝2－1m，∴m＝－14.答案：－144．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．5．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为__________．解析：由题意得c－a＝1，ca＝2解得a＝1，c＝2则b＝3，故所求方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝11．双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c.易见c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝ca＝1cosθ.2．渐近线与离心率x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．注意，若a>b>0时，双曲线的离心率满足10时，e＝2(亦称为等轴双曲线)；当b>a>0时，e>2.[精析考题][例1](2011·山东高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1[自主解答]圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是x25－y24＝1.[答案]A[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·江南十校联考)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8解析：不妨设点P在双曲线C的右半支上，由双曲线的定义得：|PF1|－|PF2|＝2两边平方得|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4①在△PF1F2中，cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝8②由①②可解得|PF1|·|PF2|＝4.答案：B2．(2012·泰安模拟)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，并且过点A(6,82)的双曲线的标准方程为________________________．解析：设方程为x29－y216＝λ，代入A点可得369－64×216＝λ.∴...
