函数函数函数函数1.3.2函数的奇偶性创设情景:观察图片观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.偶函数(evenfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(,1)(22xxfxxfoyx练习：已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)奇函数(oddfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，对于定义域内的任意一个x，－x也一定是定义域内的一个自变量。Ox[-b,-a][a,b]（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。（4）按函数奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。练习.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________f(x)=x④-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________说明：对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。奇偶函数图象的性质(1)、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.(2)、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.b、判断函数的奇偶性根据下列函数图象，判断函数的奇偶性-1-110xy-1-110xy-1-110xy奇函数偶函数偶函数图象法12例.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)∴f(x)为奇函数=2x4+3x2=f(x)∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R☆小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2例设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=2x(1-x),求：当x<0时，f(x)的表达式.设x<0,则-x>0解：于是f(-x)=2(-x)[1-(-x)]=-2x(1+x)又f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)所以，f(x)=2x(1+x)即当x<0时，函数表达式为：f(x)=2x(1+x)函数的表达式为：f(x)=｛2x(1-x)（x>0）2x(1+x)(x<0)本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称３、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。4、按函数奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。练习判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1∴f(x)为奇函数∵f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1∴f(x)为偶函数(1)f(x)=x-1x解：定义域为﹛x|x≠0﹜解：定义域为R=-f(x)=f(x)∵f(-x)=(-x)-1-x=-x+1x(3).f(x)=5解:f(x)的定义域为R∵f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数解:定义域为R∵f(-x)=0=f(x)又f(-x)=0=-f(x)∴f(x)为既奇又偶函数yox5oyx结论:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(4).f(x)=0(5)f(x)=x2+x解:f(-1)=0,f(1)=2∵∴f(-1)≠f(1)，f(-1)≠-f(1)∴f(x)为非奇非偶函数(6)f(x)=√x解:定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数21xfxx22－（）＝＋－练习.判断下列函数的奇偶性221xfx10x221xfxx－（）＝的定义域为【－，）（0，1】＋－－化简后（）＝为奇函数注：先求定义域，后化简，再判断例.判断下列函数的奇偶性f(x)=x+1解:f(x)的定义域为R但f（－1)=0,f（1)=2－f（1)=-2f（－1)≠f（1)f（－1)≠－f（1)所以f（x)既不是奇函数也不是偶函数也就是f（x)不具有奇偶性yox
