1 利用“不动点法”巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键。与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结，探究反思，对那些难求通项的数列综合问题形成了利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助。1不动点的定义一般的， 设( )f x 的定义域为 D ，若存在0xD 使 fxx()00 成立， 则称 x 0 为 fx( ) 的不动点，或称00(,)xx为 fx( ) 图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1： 设函数( )(0 1)fxaxb a、 且 x 0 是函数 fx( ) 的不动点，数列{}a n满足递推关系12 3nnafan、、⋯ ，证明：数列 {}axn0是公比为 a 的等比数列。证： x 0 是 fx( ) 的不动点，∴axbx00 ，∴ bxax00 ，∴0101010()()nnnnaxaabxaaaxa ax··，∴数列 {}axn0是公比为 a 的等比数列。例 1（2010 上海文数 21 题） 已知数列na的前 n 项和为nS 且*585nnSnanN。⑴证明：数列1na是等比数列；⑵求数列nS的通项公式并求出使得1nnSS 成立的最小正整数n 。证： ⑴当1n时，114a；当2n≥时，11155nnnnnaSSaa，∴16512nnaan≥，∴151266nnaan≥，记51( )66f xx，令( )f xx ，求出不动点01x，由定理 1 知：151(1)26nnaan≥，又 11150a，∴数列1na是等比数列。⑵略。3求非线性递推数列的通项定理 2：设函数( )(00)axbf xcadbccxd，且12xx、 是函数 fx( ) 的不动点，数列na满足递推关系12 3nnaf an、、⋯ 。⑴若12xx ，则数列 {}axaxnn12是公比为 ax cax c12的等比数列；⑵若120xxx ，则数列 {}10axn是公差为2cad的等差数列。证：⑴由题设知111111111()axbb dxxxdxba cx xcxda cx；同理，222()dxba cx x 。2 ∴11111111222222()()nnnnnnnnnnaabxaxcadacx abdxaxacxaabaxacxabdxacxaxxcad，∴数列 {}axaxnn12是公比为 acxacx12的等比数列。⑵由题设知axbxcxd的解为120xxx ，∴ xadc02且000bdxxacx。∴0100000011()()()nnnnnnncadcadaabbdxaxacxabdxxacxacadacx00000000001()()()()nnnnncadcacxdcxdcxcacxaxacxaxacxacxax00000111222nnnaddcccccadacxaxacxaxaxadacc∴数列 {}10axn是公差为2cad的等差数...
