第三章 导数的应用自测题答案一、填空题（本题共 6 小题，把答案填在题中的横线上）。１、54 ，√6−5。２、0３、1。４、3，−9。５、1，−1。 6、(−∞，−1)∪(1，+∞)；(−1,1 )。二、用洛必达法则求下列极限。1、limx→ π2cos xx− π2 2、limx→ π2lnsin x( π−2 x)2解：原式=limx→ π2−sin x1=−1 解：原式=limx→ π2cot x−4( π−2 x) =limx→π2−csc2 x8=−183、limx→0ax−bxx 4、limx→1(xx−1− 1ln x )解：原式=limx→0ax ln a−bx ln b1=ln ab 解：原式=limx→1xln x−x+1（x-1)ln x = 12三、求下列函数的单调区间。1、f ( x)=x3−x2−x+1． 解： f'( x )=3 x2−2 x−1=(3 x+1)(x−1) ∴f ( x)在区间(−∞,−13 )∪(1,+∞)内单增；在（−13，1）内单减。 2、f ( x)=x−ln(1+x)解： f'( x )=1− 11+x∴f ( x)在区间(0,+∞)内单增；在（−1，0）内单减。四、试确定a、b、c 的值，使 y=x3+ax 2+bx+c有一拐点（1，−1），且在 x=0处有极大值。解：y'( x)=3 x2+2ax+b ，y' '( x )=6 x+2a由题意得：{−1=1+a+b+c0=b0=6+2a⇒{a=−3b=0c=1五、证明题； 1、当x>0 时，ln (1+x )>arctan x1+x证：令f ( x)=(1+x )ln(1+ x)−arctan x, x>0 x>0则f'( x )=ln(1+x )+1−11+x2 >0∴当x>0 时,f ( x)单增。∴f ( x)=(1+x )ln(1+ x)−arctan x>f (0)=0又 ln (1+x )>0∴ln (1+x )>arctan x1+x2、证明：当x>0时，1+ 12 x>√1+x。证：令f ( x)=1+ x2−√1+x, x>0 x>0则f'( x )=12−12√1+x>0∴当x>0 时,f ( x)单增。f ( x)=1+ x2−√1+x>f (0)=0∴当x>0时，1+ 12 x>√1+x 六、求函数y=1+e−x21−e−x2的渐进线 limx→∞1+e−x21−e−x2=1∴y=1 为水平渐近线。 limx→01+e−x21−e−x2=∞∴x=0 是垂直渐近线。七、某商行能以 5%的年利率借得贷款，然后它又将此贷款给顾客，若它能贷出的款额与它贷出的年利率的平方成反比，问年利率为多少时贷出能使商行获利最大？ 解：令x 为年利率，则贷出款额为kx2 ，获利为： y=k (x−0.05）x2=kx− kx2 令 y'=0.1k−xkx3=0则 x=0.1答：年利率为10%时贷出能使商行获利最大。第四章 不定积分自测题答案一、填空题（本题共 9 小题，把答案填在题中的横线上）。1、f ( x)+C 。2、f ( x)+C ；f ( x)。3、f ( x)dx。4、12 f 2( x)+C。5、无限多；常数。6、−...
