《正弦函数的图象与性质》例题VIP专享VIP免费

例例 11【思路点拨】 借助于五点作图法按下列次序完成： 列表 ―→ 描点 ―→ 连线成图 用“五点法”画出函数 y ＝ 3 － sinx(x∈[0,2π]) 的图象．【解】 (1)列表，如表所示： x 0 π2 π 32π 2π sinx 0 1 0 －1 0 3－sinx 3 2 3 4 3 (2) 描点，连线，如图所示【点评】 (1)在利用关键的五个点描点作图时要注意，被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在 x＝0，π，2π 附近，函数图象上升或下降得快一些，曲线“陡”一些；在 x＝π2，3π2 附近，函数变化得慢一些，曲线变得“平缓”． (2)在解题过程中，常用“五点法”作出简图，使计算更加快捷． 【思路点拨】 解答本题中的 (1) 可先利用诱导公式化简 f(x) ，再利用 f( － x) 与 f(x) 的关系加以判断．解答本题中的 (2) 可先分析 f(x) 的定义域，然后再利用定义加以分析．例例 22 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(3x4 ＋3π2 )； (2)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx. 【解】 (1) x∈R，f(x)＝sin(3x4 ＋3π2 )＝－cos3x4 ， ∴f(－x)＝－cos3－x4＝－cos3x4 ＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin(3x4 ＋3π2 )为偶函数． (2)函数应满足 1＋sinx≠0， ∴函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠2kπ＋32π，k∈Z}． 函数的定义域不关于原点对称， ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数． 【点评】 判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看 f(－x)与 f(x)的关系．如(2)若不分析定义域而是急于看 f(－x)与 f(x)的关系，可将式子化简为 sin x，从而易于得出 f(x)为奇函数的错误结论． 例例 33 求下列函数的定义域、值域及单调递增区间． (1)y＝2sin(π4－x)；(2)y＝ sinx. 12log【思路点拨】 解答本题中(1)可先求出函数的定义域和值域，然后再把原式化为 y＝－2sin(x－π4)，借助于 y＝sinu 的单调性加以处理． 解答本题中(2)可先分析 sinx>0，得出函数的定义域，然后借助于 y＝ u 的单调性分析，求得单调区间和值域． 12log【解】 (1)因为 u＝π4－x 取任意实数，y＝2sinu 函数都有意义，所以 x 可取任意实数，故函数的定义域为 R. 又因为－1≤sinu≤1，－2≤2sinu≤2， 所以函数的值域为[－2,2]． y＝2sin(π4－x)＝－2sin(x－π4)， ∴函数 y＝2sin(π4－x)的递增区间就是函数 y＝2sin(x－π4)的递减区间． ∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2 (k∈Z)， 得 2...