高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用(第2课时)课件 理 课件VIP免费

第十二章 极限与导数第 讲（第二课时）题型 3 用数学归纳法探求数列的通项公式1. 已知数列 {an} 满足： a1=1 ， a2= ， an(an+1-1)=n(an+1- an)(n≥2) ，求数列 {an} 的通项公式 .解：由已知可得因为 a1=1 ， a2= ，所以 由此猜想：1411(2).nnnnaanna14232127aaa，343213-10aaa，1.3 - 2ann证明 : (1) 当 n=1 时， 结论成立 .(2) 假设当 n=k 时结论成立，即则当 n=k+1 时，所以当 n=k+1 时，结论也成立 . 综合 (1)(2)知，数列 {an} 的通项公式是1113 12a  ，1.32kak121111321321321111.32131131312kkkkkakkakakkkkkkkkkkkk1(*).32nanNn点评：“归纳—猜想—证明”是求数列的通项公式与前 n 项和公式的常用方法，也是近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个主要类型，应引起足够的重视 .数列 {an} 满足 Sn=2n-an(nN*).∈(1) 计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an;(2) 用数学归纳法证明 (1) 中的猜想 .解： (1) 当 n=1 时， a1=S1=2-a1, 所以 a1=1;当 n=2 时， a1+a2=S2=2×2-a2, 所以 a2= ;当 n=3 时， a1+a2+a3=S3=2×3-a3, 所以 a3= ;当 n=4 时， a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,所以 a4= . 由此猜想3274158121(N*).2nnnan(2) 证明 :① 当 n=1 时， a1=1 ，结论成立 .② 假设 n=k(k≥1 且 kN*)∈时 , 结论成立，即那么当 n=k+1(k≥1 且 kN*)∈时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以 2ak+1=2+ak,所以这表明 n=k+1 时，结论也成立 .由①②知，猜想 成立 .121.2kkka1112122212,222kkkkkkaa121(*)2nnnanN 题型 4 用数学归纳法探求数列的有关性质2. 已知两个数列 {an} 、 {bn} 满足： a1=2 ，b1=-1 ，且 an=an-1·b= ， 试推测 an+bn的变化规律，并证明你的结论 .解：当 n=1 时， a1+b1=1.因为所以 a2+b2=1 ，…由此猜测： an+bn=1.证明： (1) 当 n=1 时， a1+b1=1 显然成立 .12(2)11nnnbbna，1221 22112133bbaa ba，，(2) 假设当 n=k 时， ak+bk=1 ，即 bk=1-ak成立，则 ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1所以当 n=k+1 时，结论成立 .综合 (1)(2) 知，对任意 nN*∈，都有 an+bn...