1第六章不等式 26.3 不等式的证明 第三课时题型 6 用反证法证不等式• 1. 已知 a 、 b 、 c(0∈， 1) ，求证：(1-a)b ， (1-b)c ， (1-c)a 不能同时大于 .• 证法 1 ：假设三式同时大于 ，1414 3• 即有 (1-a)b ＞ ， (1-b)c ＞ ， (1-c)a ＞ , 三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c ＞ .• 又 (1-a)a≤( )2= ，• 同理， (1-b)b≤ ， (1-c)c≤ ，• 所以 (1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ ，• 因此与假设矛盾，故结论正确 .• 证法 2 ：假设三式同时大于 .• 因为 0 ＜ a ＜ 1 ，所以 1-a ＞ 0 ，1414141641-2aa14141414164 4• 所以• 同理， 都大于 .• 三式相加得 ＞ ，矛盾 .• 故假设不成立，从而原命题成立 .• 点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法 . 反证法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾 ( 得出结论 ).(1- )11(1- ).242aba b(1- )(1- )22bcca、123232 5• 已知 a,b,c∈R, 求证： a2-2c,b2-2a,c2-2b 三个式子中至少有一个不小于 -1.• 证明：假设三式都同时小于 -1 ，即 a2-2c ＜ -1 ， b2-2a ＜ -1 ， c2-2b ＜ -1 ，三式相加，• 得 a2-2c+b2-2a+c2-2b ＜ -3 ，• 所以 a2-2c+b2-2a+c2-2b+3 ＜ 0 ，• 即有 (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜ 0 ，• 这与 (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0 ，矛盾 .• 故结论成立 .拓展练习拓展练习 6• 2. 已知 a 、 bR∈， a2+b2≤4 ，求证： |3a2-8ab-3b2|≤20.• 证明：因为 a 、 bR∈， a2+b2≤4 ，• 所以可设 a=rcosθ,b=rsinθ, 其中0≤r ≤2 ，• 所以 |3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|• =r2|5cos(2θ+arctan )|≤5r2≤20.• 所以原不等式成立 . 题型 7 用换元证不等式43 7• 点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式 . 换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义 . 常用的换元有：若 x2+y2=a2，可设x=acosθ ， y=asinθ ；若 • 可设x=acosθ ， y=bsinθ ；若 x2+y2≤1 ，可设 x=rcosθ ， y=rsinθ(0≤r≤1).22221xyab ， 8• 已知1≤x2+y2≤2 ，求证： ≤ x2-xy+y2≤3.• 证明 : 设 x=rcosθ,y=rsinθ, 且1≤r≤2,θ∈R, 则• 由 -1≤sin2θ≤1 ，得 ≤ 1- sin2θ≤ .• 又 1≤r2≤2 ，所以 ≤ r...
