第 四 节数学归纳法 ( 理 ) 重点难点 重点：数学归纳法． 难点：①数学归纳法的证明思路． ②初始值 n0的确定． 知识归纳 1．归纳法 归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分对象具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法． 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：验证当 n 取第一个值 n0 时结论成立； (2)归纳递推：假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论成立．推出 n＝k＋1 时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有自然数 n(n≥n0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法． 3．归纳、猜想与证明 从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳—猜想—证明”． 误区警示 在应用数学归纳法的过程中： 第①步，验证 n＝n0 时结论成立的 n0 不一定为 1，根据题目要求，有时可为 2、3 等． 第②步，证明 n＝k＋1 时命题也成立的过程中，一．定要用到归纳假设．．．．．．．．，否则就不是数学归纳法． 这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证 n 从第一个数 n0开始，即假设 n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0就错了． 一、添减项法和放缩法 1．用数学归纳法证明命题时，根据需要有时应添项或减项，这是数学归纳法证题的常用技巧． 2．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头． [例 1] 用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当 n＝k＋1 时，左端应在 n＝k 的基础上加上( ) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C.k＋14＋k＋122 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 数学归纳法原理 解析：当 n＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，当 n＝k＋1 时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋ ，增加了 2k＋1 项．故选 D. 答...
