第二十五章 概率初步专题 46 二次函数与一次函数武汉专版 · 九年级上册1 ． (2016· 武汉 ) 如图，抛物线 y ＝ ax2 ＋ c 与 x 轴交于 A ， B 两点，顶点为 C ，点 P 在抛物线上，且位于 x 轴下方．已知直线 PA ， PB 与 y 轴分别交于 E ， F 两点．当点 P 运动时， 是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由．OCOFOE 【解析】∵A、B 关于 y 轴对称，xA＋xB＝0.设 lBP∶y＝kx＋b，lAP∶y＝mx＋n，联立y＝ax2＋c，y＝kx＋b，得 ax2－kx＋c－b＝0，则 xB·xP＝c－ba；联立 y＝ax2＋c，y＝mx＋n，得 ax2－mx＋c－n＝0，则 xA·xP＝c－na ，∴xA·xP＋xB·xP＝c－na ＋c－ba ＝2c－n－ba.∵xA·xP＋xB·xP＝xP(xA＋xB)＝xP·0＝0，∴2c－n－ba＝0，∴2c＝n＋b，∴OE＋OFOC＝－n－b－c＝－2c－c＝2.2 ．如图，点 P 是直线 l ： y ＝－ 2x － 2 上的点，过点 P 的另一条直线 m 交抛物线 y ＝ x2 于 A ， B 两点．(1) 若 A( － ， n) ， B(1 ， 1) ，求直线 m 的解析式；(2) 若 P( － 2 ， t) ，当 PA ＝ AB 时，求点 A 的坐标；(3) 无论点 P 在 l 上移动到何处，是否总可以找到这样的直线，使得 PA ＝ AB ？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．23【解析】(1)直线 m：y＝－12x＋32.(2)P(－2，2)．设 A(m，m2)，如图，分别过点 P，A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 G，E，F.∵PA＝AB，∴GE＝EF，AE＝12(PG＋BF)，∴OF＝|EF－OE|＝|GE－EO|.∵GE＝GO－EO＝2＋m，EO＝－m，∴OF＝|2＋2m|.∵BF＝2AE－PG＝2m2－2，∴B(|2＋2m|，2m2－2)．∴|2＋2m|2＝2m2－2.∴m＝－1 或－3，∴A(－1，1)或(－3，9)．(3)设 P(a，－2a－2)，A(m，m2)．同(2)得 B(|2m－a|，2m2＋2a＋2)．∵2m2＋2a＋2＝(2m－a)2，∴2m2－4am＋a2－2a－2＝0，Δ＝8(a＋1)2＋8＞0，∴无论 a 为何值时，方程总有两个不相等的实数根．即无论点 P 在 l 上移动到何处，总可以找到这样的直线，使得 PA＝PB.
