函数的性质（一）一、函数的奇偶性 （ 1 ）若 f(x) 是偶函数，那么 f( － x) = f(x) ；若 f(x) 是奇函数，那么 f( － x)= － f(x) ；（ 2 ）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求函数表达式中的参数）；（ 3 ）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(–x)=0 ； （ 4 ）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（ 5 ）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；（ 6 ） 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 例 1 ：若函数 f(x)=2sin(3x+θ) ， x[2∈α － 5π ，3α] 为奇函数，其中 θ (0∈， 2π) ，则 α−θ 的值是 。 0注： α=π ， θ=π例 2 、判断下列函数的奇偶性： （ 1 ） 2|4 | 49xyx奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 11( )()212xf xx（ 2）1( )(1)1xf xxx（ 3）（ 4）21( )|2 | 2xf xx例 3 、已知函数 f(x)=ax2+bx+c(2a−3≤x≤1)是偶函数，则 a___∈， b____∈， c___∈{1}{0}R例 4. 设 f(x)(xR)∈是以 3 为周期的奇函数，且 f(1) ＞ 1 ， f(2)=a ，则 ( ) (A) a ＞ 2 (B) a ＜− 2 (C) a ＞ 1 (D) a ＜− 1 DB例 5 、已知奇函数 f(x) 在 x ＞ 0 时的表达式为 f(x)=2x− ，则当 x ＜ − 时，有 ( ) (A) f(x) ＞ 0 (B) f(x) ＜ 0 (C) f(x)+f(−x) ＜ 0 (D) f(x)+f(−x) ＞ 0 1214例 6. 已知 y=f(x−1) 是偶函数，则 y=f(x) 的图象关于 ( ) A. 直线 x+1=0 对称 B. 直线 x−1=0 对称 C. 直线 x−1/2=0 对称 D. y 轴对称 A2 、函数的单调性 （ 1 ）一般地，设函数 f(x) 的定义域为 M ：如果对于属于定义域 M 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数 . 如果对于属于定义域 M 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＞ f(x2) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 .（ 2 ）函数是增函数还是减函数 . 是对定义域内某个区间而言的 . 有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数， ...
