数学思想方法构建6VIP免费

数学思想方法构建六 思想方法 1 数形结合思想在直线与抛物线位置关系 中的应用数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数形相互转化来解决数学问题，其包含“以形助数”与“以数定形”，把抽象的数学语言与直观图形有机结合．在直线与抛物线位置关系中的应用主要体现在： (1) 研究直线与抛物线公共点问题； (2) 结合抛物线定义、性质求几何最值．【典例 1 】 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C(0 ， p) 作直线与抛物线 x2＝ 2py(p ＞ 0) 相交于 A ， B 两点．(1) 若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求△ ANB 面积的最小值；(2) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由．[ 思路点拨 ] (1) 在直线 AB 变动的过程中，△ ABN 中存在一条长度不变的线段 CN( 长为 2p) ，将△ ABN 面积分割为△ ANC 与△ BNC 的面积和，∴ S△ABN＝ S△ANC＋ S△BNC＝ p|x1－ x2|.(2) 求弦长时，构造直角三角形，求解．解 (1)如图所示，依题意， 点N的坐标为N(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直线AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立 消去y得x2－2pkx－2p2＝0. 由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2. 于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝12×2p|x1－x2| ＝p|x1－x2|＝p x1＋x22－4x1x2 ＝p 4p2k2＋8p2＝2p2 k2＋2. ∴当k＝0时，(S△ABN)min＝2 2p2. (2)如图所示，假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a. 设AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H. 则O′H⊥PQ，O′点的坐标为x12，y1＋p2. |O′P|＝12|AC|＝12 x12＋y1－p2 ＝12 y12＋p2， |O′H|＝a－y1＋p2＝12|2a－y1－p|， ∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2 ＝14(y12＋p2)－14(2a－y1－p)2 ＝a－p2 y1＋a(p－a)， ∴|PQ|2＝(2|PH|)2＝4a－p2 y1＋ap－a . 令a－p2＝0，得a＝p2， 此时|PQ|＝p为定值， 故满足条件的直线l存在，其方程为y＝ p2 ，即抛物线的通径所在的直线． [ 反思与回顾 ] 1. 本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的开放性问题，数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大...