退出目录1.3 导数在研究函数中的应用 退出目录1.3.1 函数的单调性与导数 退出目录课前预习导学 退出目录目标导航 学习目标 重点难点 1.结合实例,借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系; 2.能够利用导数研究函数的单调性,并学会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 重点:利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性; 难点:根据函数的单调性求参数的取值范围. 退出目录预习导引 1.函数的单调性与其导数的正负关系 在某个区间(a,b)内,如果 f'(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f'(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 退出目录预习交流 1 1.思考:利用导数求函数 f(x)单调区间的一般步骤是什么? 提示:(1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f'(x); (3)由 f'(x)>0(或 f'(x)<0)解出相应的 x 的范围.当 f'(x)>0 时,f(x)在相应区间上是增函数;当 f'(x)<0 时,f(x)在相应区间上是减函数. 2.做一做:在区间(a,b)内,f'(x)>0 是 f(x)在(a,b)上为单调增函数的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示:当 f'(x)>0 时,f(x)在(a,b)上一定是增函数,但当 f(x)在(a,b)上单调递增时,不一定有 f'(x)>0,例如 f(x)=x3 在区间(-∞,+∞)上单调递增,f'(x)≥ 0.故选 A 项. 退出目录2.利用导数解释函数增减快慢 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较陡峭(向上或向下);反之,函数的图象就平缓一些. 退出目录预习交流 2 做一做:若 f'(x)是 f(x)的导函数,f'(x)的图象如图,则 f(x)的图象只可能是( ) 退出目录提示:由于导函数图象在 x 轴及其上方,故原函数为增函数.又因为导函数 f'(x)先增后减,说明原函数在曲线前半段上点的切线斜率逐渐增大,而后半段上点的切线斜率越来越小.故选 D 项. 退出目录课堂合作探究 退出目录问题导学 一、求函数的单调区间 活动与探究 1 (2013 海南海口模拟)求函数 f(x)=x3-4x2+5x+1 的单调区间. 思路分析:求出 f'(x),然后先解不等式 f'(x)>0 得单调增区间,再解不等式 f'(x)<0 得单调减区间. 退出目录解:f'(x)=3x2-8x+5. 令 f'(x)>0,则 3x2-8x+5>0, 解得 x<1,或 x>53. ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和ቀ53 , + ∞ቁ. 令 f'(x)<0,则 3x2-8x+5<0,解得 1
