实 用 文 档1 第四讲四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段， 为解决其他问题铺平道路. 判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即 P89 定理和 P93 例 3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用 .1 “四点共圆”作为证题目的例 1．给出锐角△ ABC，以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC′ 及其延长线交于 M，N. 以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB′及其延长线将于 P，Q. 求证： M，N，P，Q 四点共圆 . ( 第 19 届美国数学奥林匹克 ) 分析：设 PQ，MN 交于 K 点，连接 AP，AM.欲证 M，N，P，Q 四点共圆，须证MK· KN＝PK· KQ，即证 ( MC′- KC′ )( MC′ +KC′) ＝( PB′ - KB′ ) · ( PB′+KB′ ) 或 MC′2- KC′2=PB′2- KB′2 .①不难证明AP=AM，从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2.故 MC′2- PB′2=AB′2- AC′2ABCKMNPQB′C′实 用 文 档2 =(AK2- KB′2)-( AK2- KC′2) =KC′2- KB′2.②由②即得①，命题得证 .例 2．A、B、C 三点共线， O 点在直线外，O1，O2，O3 分别为△ OAB，△OBC，△OCA 的外心 . 求证： O，O1，O2，O3 四点共圆 . ( 第 27 届莫斯科数学奥林匹克 ) 分析：作出图中各辅助线 . 易证 O1O2 垂直平分 OB，O1O3 垂直平分OA. 观察△ OBC 及其外接圆，立得∠ OO2O1=21 ∠OO2B=∠OCB. 观察△ OCA 及其外接圆，立得∠ OO3O1=21 ∠OO3A=∠OCA.由∠ OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圆 .利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3 四点共圆，请同学自证 .2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面 .(1) 证角相等例 3．在梯形 ABCD 中， AB∥DC，AB＞CD，K，M 分别在 AD，BC 上，∠ DAM＝∠ CBK.ABCOOOO123？？实 用 文 档3 求证：∠ DMA＝∠ CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知 A，B，M，K 四点共圆 . 连接 KM，有∠ DAB＝∠ CMK. ∠ DAB+∠ADC ＝180° ，∴∠ CMK+∠KDC＝180° .故 C，D，K，M 四点共圆∠CMD＝∠ DKC.但已证∠ AMB＝∠ BKA，∴∠ DMA＝∠CKB.(2) 证线垂直例 4．⊙O 过△ ABC 顶点 A，C，且与 AB，BC 交于 K，N( K 与 N...
