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四点共圆问题-数学竞赛VIP免费

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1 / 9 TGRPQHSKC'PB'MABCQNABCP'PQR四点共圆问题四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具,四点共圆这类问题一般有以下两种形式:(1)证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆;(2)通过某四点共圆得到一些重要结论,进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识(1)若干个点与某定点的距离相等,则这些点在一个圆上;(2)在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆;(3)若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆;(4)若点 C、D在线段 AB 的同侧,且ACBADB ,则 ABCD、 、 、四点共圆;(5)若线段 ABCD、交于 E 点,且 AE EBCE EDgg,则 ABCD、 、 、四点共圆;(6)若相交线段 PAPB、上各有一点 CD、,且 PA PCPB PDgg,则 ABCD、 、、四点共圆。四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题,而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。例 1、已知 PQRS 是圆内接四边形,090PSR,过点 Q 作 PRPS、的垂线,垂足分别为点HK、求证: HK 平分 QS例 2、给定锐角ABCV,以 AB 为直径的圆与边AB 上的高线'CC 及其延长线交于点MN、,以 AC为直径的圆与AC 上的高线'BB 及其延长线交于点PQ、。证明: MPNQ、 、、四点共圆。例 3、在等腰ABCV中, P 为底边 BC 上任意一点,过点P 做两腰的平行线分别与ABAC、交于点QR、,又点'P 是点 P 关于直线 QR 的对称点。求证:点'P 在ABCV的外接圆上。分析:2 / 9 EFHACBDABCP'PQHABCGDEF例 4、 ABCD 是圆内接四边形,AC 是圆的直径,BDAC , AC 与 BD 的交点为 E ,点 F 在 DA的延长线上, 连结 BF ,点 G 在 BA 的延长线上, 使得//DGBF ,点 H 在 GF 的延长线上, CHGF . 证明: BEFH、 、 、四点共圆。例 5、在ABCV的边 ABAC、上分别取点 QP、,使得12PBCQCBA 。求证: BQCP例 6、在梯形 ABCD 中,//ADBC ,1BCBD,,1ABAC CD,且0180BACBDC,求 CD 的长例 7、在锐角ABCV中 ABAC , AD 是高, H 是 AD 上一点,联结 BH 并延长交 AC 于点 E ,联结CH 并延长交 AB 于 F ,已知 BCEF、 、 、四点共圆,问:点H 是否一定是ABCV的垂心?证明你的结论G 3 / 9 GABCG'KEFD Sc 1OAO2CO1O3BACBDECADBEF例 8、已知ABCV的重心 G 关于边 BC 的对称点是'G ,证明:'ABGC、 、、...

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