四点共圆问题-数学竞赛VIP免费

1 / 9 TGRPQHSKC'PB'MABCQNABCP'PQR四点共圆问题四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（1）证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（2）通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（1）若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（2）在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；（3）若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；（4）若点 C、D在线段 AB 的同侧，且ACBADB ，则 ABCD、 、 、四点共圆；（5）若线段 ABCD、交于 E 点，且 AE EBCE EDgg，则 ABCD、 、 、四点共圆；（6）若相交线段 PAPB、上各有一点 CD、，且 PA PCPB PDgg，则 ABCD、 、、四点共圆。四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。例 1、已知 PQRS 是圆内接四边形，090PSR，过点 Q 作 PRPS、的垂线，垂足分别为点HK、求证： HK 平分 QS例 2、给定锐角ABCV，以 AB 为直径的圆与边AB 上的高线'CC 及其延长线交于点MN、，以 AC为直径的圆与AC 上的高线'BB 及其延长线交于点PQ、。证明： MPNQ、 、、四点共圆。例 3、在等腰ABCV中， P 为底边 BC 上任意一点，过点P 做两腰的平行线分别与ABAC、交于点QR、，又点'P 是点 P 关于直线 QR 的对称点。求证：点'P 在ABCV的外接圆上。分析：2 / 9 EFHACBDABCP'PQHABCGDEF例 4、 ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BDAC ， AC 与 BD 的交点为 E ，点 F 在 DA的延长线上， 连结 BF ，点 G 在 BA 的延长线上， 使得//DGBF ，点 H 在 GF 的延长线上， CHGF . 证明： BEFH、 、 、四点共圆。例 5、在ABCV的边 ABAC、上分别取点 QP、，使得12PBCQCBA 。求证： BQCP例 6、在梯形 ABCD 中，//ADBC ，1BCBD，,1ABAC CD，且0180BACBDC，求 CD 的长例 7、在锐角ABCV中 ABAC , AD 是高， H 是 AD 上一点，联结 BH 并延长交 AC 于点 E ，联结CH 并延长交 AB 于 F ，已知 BCEF、 、 、四点共圆，问：点H 是否一定是ABCV的垂心？证明你的结论G 3 / 9 GABCG'KEFD Sc 1OAO2CO1O3BACBDECADBEF例 8、已知ABCV的重心 G 关于边 BC 的对称点是'G ，证明：'ABGC、 、、...