【基础知识】塞瓦定理设 A ，B ，C 分别是 △ ABC的三边 BC，CA ，AB 或其延长线上的点， 若 AA ，BB ，CC三线平行或共点，则1BACBACA CB AC B．①证明如图 2-1 （ b）、（ c ），若 AA ， BB ， CC 交于一点 P ，则过 A 作 BC 的平行线，分别交BB ，CC 的延长线于D ， E ，得,CBBCACEAB AADC BBC．又由 BAA PA CADPAEA，有 BAADA CEA．从而1BACBACADBCEAA CB AC BEAADBC．若 AA ， BB ， CC 三线平行，可类似证明（略）．注（1）对于图 2-1 （ b）、（ c ）也有如下面积证法：由：1PABPBCPCAPCAPABPBCSSSBACBACA CB AC BSSS△△△△△△，即证．（2）点 P 常称为塞瓦点．（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证．首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理．如图 2-1 （ b ）、（ c），分别对 △ ABA 及截线 C PC ，对 △ AA C 及截线 B PB 应用梅涅劳斯定理有1BCA PACCAPAC B，1A BCBAPBCB APA．上述两式相乘，得1BACBACA CB AC B．其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理．如图 2-2 ，设 A ， B ， C 分别为 △ ABC 的三边 BC ， CA ， AB 所在直线上的点，且A ， B ， C 三点共线．令直线BB 与 CC 交于点 X ，直线 C C 与 AA 交于点 Y ，直线 AA 与 BB 交于点 Z ．分别视点 C ， A ， B ， C ， A ， B 为塞瓦点，应用塞瓦定理，即对 △ BCB 及点 C （直线 BA， CX ， B A 的交点），有1BACAB XA CABXB．对 △ CAC 及点 A （直线 CB ， AY ， C B 的交点），有1CBABC YB CBCYC．对 △ ABA 及点 B （直线 AC ， BZ ， A C 的交点），有1ACBCA ZC BCAZA．对 △ BBC 及点 C （直线 BA ， BA ， C X 的交点），有1BXB AC AXBA CAB．对 △ CC A 及点 A （直线 CB ， C B ， A Y 的交点），有1CYC BA BYCB ABC．对 △ AA B 及点 B （直线 AC ， A C ， B Z 的交点），有1AZA CB CZAC BCA．上述六式相乘，有21BACBACA CB AC B．故1BACBACA CB AC B．塞瓦定理的逆定理设 A ， B ， C 分别是 △ ABC的三边 BC ， CA ， AB 或其延长线上的点，若1BACBACA CB AC B，②则 AA ， BB ， CC 三直线共点或三直线互相平行．证明若 AA 与 BB 交于点 P ，设...
