第 八 节用向量方法求角与距离 ( 理 ) 重点难点 重点：用向量方法求角与距离 难点：将空间的角与距离用向量表示 知识归纳 一、空间的距离 1．两点间的距离——连结两点的线段的长度． 2．点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度． 3．点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度． 连接平面 α 外一点与平面 α 内任一点的线段中，垂线段最短． 4．平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度． 5．异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度． 6．直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度． 7．两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长度． 二、求距离的方法 1．几何方法 ①找出或作出有关距离的图形； ②证明它符合定义； ③在平面图形内计算． 空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法． 2．向量法 误区警示 平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起着关键作用，要注意向量的夹角与各种角的联系与区别． 一、用向量法求空间的角 1．求异面直线所成的角 设 l1与 l2是两异面直线，a、b 分别为 l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为 θ，则〈a，b〉与 θ 相等或互补， ∴cosθ＝ |a·b||a|·|b|. 2．求直线与平面所成的角 如图，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ 为 l 与 α 所成的角，则 sinφ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|. 3．求二面角 平面 α 与 β 相交于直线 l，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，＝θ，则二面角 α－l－β 为θ 或 π－θ.设二面角大小为 φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝ |n1·n2||n1|·|n2|. ※二、用向量法求空间距离 1．求点到平面的距离 如下图所示，已知点 B(x0，y0，z0)，平面 α 内一点A(x1，y1，z1)，平面 α 的一个法向量 n，直线 AB 与平面α 所成的角为 φ，θ＝〈n，AB→ 〉，则 sinφ＝|cos〈n，AB→〉|＝|cosθ|.由数量积的定义知，n·AB→ ＝|n||AB→ |cosθ，∴点 B到平面 α 的距离 d＝|AB→|·sinφ＝|AB→ |·|cosθ|＝|n·AB→||n| . 2．求异面直线间的...
