初中数学模型解题法解答题1.（2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F。（1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF；（2）当点C不是的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。【答案】解：（1）证明： DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。 点C是的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。又 DC是切线，∴DC⊥EC。又 CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。∴CD∥AO，CD=AD。∴，即EF=AD=EC。∴F为EC的中点，CF=EF。（2）CF=EF保持不变。证明如下：如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC， AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。∴∠DAC=∠DCA。 AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。∴∠DGC=∠DCG。∴在△GDC中，GD=DC。 DC=DA，∴GD=DA。 AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。又 CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。∴。 GD=AD，∴CF=EF。【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF。2.（2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x。（1）用x表示△AMN的面积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。①用的代数式表示y，并写出x的取值范围；②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？【答案】解：（1） MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。∴。∴，即。（2）①当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时，（0＜x≤5）。当点A′在四边形BCMN外，连接AA′与MN交于点G与BC交于点F， MN∥BC，∴，即。∴AG=x。∴AA′=2AG=x。∴A′F=x－5。∴，即。∴。∴重合部分的面积。综上所述，重合部分的面积。② ∴当x=时，y最大，最大值为y最大=。【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）根据已知条件求出△AMN∽△ABC，再根据面积比等于相似比的平方的性质即可求出△AMN的面积。（2）根据已知条件分两种情况进行讨论，当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时和当点A′在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可．再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来。3.（江苏省苏州市2002年7分）已知：⊙与⊙外切于点，过点的直线分别交⊙、⊙于点、，⊙的切线交⊙于点、，为⊙的弦，（1）如图（1），设弦交于点，求证：；（2）如图（2），当弦绕点旋转，弦的延长线交直线B于点时，试问：是否仍然成立？证明你的结论。【答案】解：（1）证明：连结，过点作⊙与⊙的公切线。∴。又 是⊙的切线，∴。又 ，∴。又 ，∴。∴，即。（2）仍成立。证明如下：连结，过点作⊙和⊙的公切线。 是⊙的切线，∴。∴。∴。又 ，∴。又 ，∴。∴，即。【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连结，过点作⊙与⊙的公切线。根据弦切角定理可得，由也是⊙的切线，根据切线长定理可得，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到，由对顶角相等的性质，得到。又，从而，根据相似三角形的性质即可证明。（2）同（1）可以证明。4.（江苏省苏州市2002年7分）如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（...
