数 学 归 纳 法二讲第用数学归纳法证明等式题型 ( 一 )主要考查利用数学归纳法证明与正整数有关的代数等式. [典例感悟] [例 1] (2019·南师附中、天一中学四月联考)设(t＋x)n＝a0(t)＋a1(t)x＋a2(t)x2＋…＋ar(t)xr＋…＋an(t)xn，其中常数 t∈R， n∈N *，ar(t)(r＝0，1，2，…，n)是与 x 无关的常数． (1)若 n＝4，a3(t)＝32，求 t 的值； (2)当 n＝3m，m∈N *时，求证：r＝0m a3r(1)＝2n＋2×（－1）n3. [解] (1)因为 n＝4，a3(t)＝32，所以 C34·t＝32，因此 t＝8. (2)证明：利用数学归纳法证明如下： 由题意得，a3r(1)＝C3rn ＝C3r3m，r＝0，1，2，…，m. ①当 m＝1，即 n＝3 时， r＝01 , a3r(1)＝C 03＋C 33＝2，23＋2×（－1）33＝2，所以所证等式成立． ②假设当 m＝k(k∈N *)，即 n＝3k 时，所证等式成立，即 r＝0k a3r(1)＝C03k＋C33k＋…＋C3k3k＝23k＋2×（－1）3k3， 则当 m＝k＋1，即 n＝3k＋3 时， r＝0k＋1 a3r(1)＝C03k＋3＋C33k＋3＋…＋C3r＋33k＋3＋…＋C3k3k＋3＋C3k＋33k＋3，又 C3r＋33k＋3＝C3r＋33k＋2＋C3r＋23k＋2＝(C3r＋33k＋1＋C3r＋23k＋1)＋(C3r＋23k＋1＋C3r＋13k＋1)＝C3r＋33k＋1＋2C3r＋23k＋1＋C3r＋13k＋1＝(C3r＋33k＋C3r＋23k)＋2(C3r＋23k＋C3r＋13k)＋(C3r＋13k＋C3r3k)＝C3r3k＋3C3r＋13k＋3C3r＋23k ＋C3r＋33k ，其中 r＝0，1，2，…，k－1. 所以 r＝0k＋1 a3r(1)＝C03k＋3＋(C03k＋3C13k＋3C23k＋C33k)＋…＋(C3r3k＋3C3r＋13k ＋3C3r＋23k＋C3r＋33k )＋…＋(C3k－33k＋3C3k－23k＋3C3k－13k＋C3k3k)＋C3k＋33k＋3＝3(C03k＋C13k＋C23k＋…＋C3k3k)－(C03k＋C33k＋…＋C3k3k )＝3×23k－∑k,r＝0a3r(1)＝3×23k－23k＋2×（－1）3k3＝8×23k－2×（－1）3k3＝23k＋3＋2×（－1）3k＋33，所以当 m＝k＋1，即 n＝3k＋3 时，所证等式也成立．综上，当 n＝3m，m∈N *时， r＝0m a3r(1)＝2n＋2×（－1）n3. [方法技巧] (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值． (2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． [演练冲关] (2018·苏州期末)在正整数集N *上定义函数y＝f(n)，满足f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，且f(1)＝2. (1)求...
