第4 章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1 在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义 4．1．1 设 A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 )()(ABBA 则称子集 A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于 BA 和 AB 同时成立，也就是说，A与 B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的． 定义 4．1．2 设 X 是一个拓扑空间．如果 X 中有两个非空的隔离子集 A 和B 使得 X=A∪B，则称 X 是一个不连通空间；否则，则称 X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理 4．1．1 设 X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集 A 和B 使得 A∩B= 和 A∪B＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集 A 和B 使得 A∩B= 和 A∪B＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l）蕴涵（2）: 设（1）成立．令 A 和B 是 X 中的两个非空的隔离子集使得 A∪B＝X，显然 A∩B=，并且这时我们有 BBBABBABXBB)()()( 因此 B 是 X 中的一个闭子集；同理 A 也是一个 X 中的一个闭子集．这证明了集合 A 和B满足条件（2）中的要求． （2）蕴...
