高三数学新课：极限的四则运算，函数的连续性（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：高三新课：极限的四则运算，函数的连续性二. 教学重、难点：1. 函数在一点处连续2. 函数在开区间，闭区间上连续3. 连续函数的性质（1）若与在处连续，则，，（）在处也连续。（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。【典型例题】[例 1] 求下列极限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式 （3）原式 （4）原式[例 2] 求下列各数列的极限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式 [例 3] 已知数列是正数构成的数列，，且满足，其中 是大于 1 的整数， 是正数。（1）求的通项公式及前 项和；（2）求的值。解：（1）由已知得 ∴ 是公比为 的等比数列，则（2）① 当时，原式② 当时，原式③ 当时，原式[例 4] 判定下列函数在给定点处是否连续。（1）在处；（2），在处。解：（1），但故函数在处不连续（2）函数在处有定义，但，即故不存在，所以函数在点处不连续。[例 5] 已知函数，试求：（1）的定义域，并画出的图象；（2）求，，；（3）在哪些点处不连续。解：（1）当，即时，当时，不存在当时，当时，即或时，∴ ∴ 定义域为（） （），图象如图所示（2） ∴ 不存在（3）在及处不连续 在处无意义时，即不存在 ∴ 在及处不连续[例 6] 证明方程至少有一个小于 1 的正根。证明：令，则在（0，1）上连续，且当时，。时，∴ 在（0，1）内至少有一个，使即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于 1的正根。[例 7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？解：（且）任取，则∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续[例 8] 假设，在上不连续，求 的取值范围。解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义， 必有，因为，， 所 以， 所 以， 若不 连 续 ， 则且。[例 9] 设（1）若在处的极限存在，求的值；（2）若在处连续，求的值。解：（1），，因为在处极限存在，所以，所以，即（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且，由（1）知，且，又，所以。【模拟试题】（答题时间：60 分钟）一. 选择题：1. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 不存在 C. =1 D. =2. 的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 7 D. 03. 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D....
