第八部分常微分方程第 1 页 共 16 页1 [ 填空题 ] 1．微分方程0costanxxyy的通解为xCxycos)(。2．过点)0,21(且满足关系式11arcsin2xyxy的曲线方程为21arcsinxxy。3．微分方程03yyx的通解为221xCCy。4．设)(),(),(321xyxyxy是线性微分方程)()()(xfyxbyxay的三个特解，且Cxyxyxyxy)()()()(1312，则该微分方程的通解为)())()((())()((1132121xyxyxyCxyxyCy。5．设xexyxy22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为xy3，则该微分方程的通解为xeCxCxy2123。6．设出微分方程xexexyyyxx2cos32的一个特解形式)2sin2cos()(*xFxEeeDCxxBAxyxx。7．微分方程xeyyy22的通解为)sincos1(21xCxCeyx。8．微分方程xeyy24的通解为xxexCeCy222141。9．函数xCxCy2sin2cos21满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04yy。10．若连续函数)(xf满足关系式2ln)2()(20xdttfxf，则)(xf2ln2xe。[ 选择题 ]11．设曲线积分Lxydyxfydxexfcos)(sin])([与路径无关， 其中)(xf具有一阶连续导数，且0)0(f，则)(xf等于 [ ] (A))(21xxee。 (B) )(21xxee。第八部分常微分方程第 2 页 共 16 页2 (C) 1)(21xxee。 (D) )(211xxee。答 B 注： 根据题意，yexfyxfx cos])([cos)(，解得xxCeexf21)(。由0)0(f，得21C，所以)(21)(xxeexf，即选项 (B) 正确。12．若函数xy2cos是微分方程0)(yxpy的一个特解，则该方程满足初始条件2)0(y的特解为 [ ] (A)22cos xy。 (B) 12cos xy。(C) xycos2。 (D) xy2cos2。答 D 注： 根据解的结构，通解为xCy2cos，由2)0(y得2C。故选项 (D) 正确。其他选项经验证不满足方程或定解条件。13．设函数)(),(21xyxy是微分方程0)(yxpy的两个不同特解，则该方程的通解为[ ] (A)2211yCyCy。 (B) 21Cyyy。(C) )(211yyCyy。 (D) )(12yyCy。答 D 注： 因为)(),(21xyxy是微分方程0)(yxpy的两个不同特解，所以12yy是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为)(12yyCy，即选项 (D) 正确。另：根据通解定义， 选项 (A) 中有两个任意常数， 故其不对。当02y时，选项 (B) 不对。当12yy时，选项 (C) 不对。14．已知函数)( xyy在任意点 x 处的增量)0(),(12yxoxxyy，则)1(y等于[ ] (A) 2。 (B)。 (C)4e。 (D) 4e 。答 D 第八部分常微分方程第 3 页 共 16 页3 注： 根据微分定义及微分与导数的关系得21xyy，解得Cxyarctanln，由)0(y，得lnC，所以41arctan)1(eey。因此...
