数学物理方程资料VIP免费

数学物理方程考点 一. 分离变量法：知识点见课本1618PP 1.已知初边值问题： 20000 ,0,000,sin2ttxxxxxltttua uxl tuuxuul （1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）； （2） 求此初边值问题的解。 解：（1）令 (,)()( )ux tXx Tt （1.1），其中 ( , )u x t 不恒零，将其代入方程得到： ' '2' '()( )()( )0Xx TtaXx Tt 将该式分离变量并令比值为有： ' '' '2( )()( )()TtXxa TtXx  则有： ' '2( )( )0Tta Tt （1.2） ''( )( )0XxXx （1.3） 由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 '( 0 )0 ,( )0XXl （1.4） ( )I 当0 时，方程（1.3）的通解为 12( )xxX xC eC e，由边界条件（1.4）知： 121200xxCCCeCe  1200CC ( )0Xx 由（1.1）知：( , )0u x t，0 应舍去； ()II 当0 时，方程（1.3）的通解为 12( )XxCC x，由边界条件（1.4）知： 1200CC 同理0 应舍去； ()III当  >0 时，则方程的通解为： 12X( )cossinxCxCx 由边界条件(0)0X知：10C  即 2( )sinX xCx 又由'( )0Xl 知：2cos0Cl  ， 令20C，则 cos0l 即 2n ln ，所以固有值为 2(21),0,1,2nnnl 将其代入通解中，得到固有函数：(21)( )sin,0,1,2nnnXxCxnl （２）将固有值n 代入方程（1.2），可得到此方程的通解： (21)(21)( )cossin,0,1,22nnnnanaTtAtBtnll 则原初边值问题的形式解为 ： (21)(21)(21)( , )( )( )(cossin) sin,0,1,222nnnnnnananux tXx Ttatbtx nlll 则：0(21)(21)(21)( , )(cossin) sin,0,1,222nnnnananu x tatbtx nlll 由初始条件 00tu，0sin2ttxul 知： 0na 0204( 21 )( 21 )s i ns i n( 21 )2201 , 2lnlnnxxnabdxnalln   原初边值问题的解为： 2(,)s i ns i n( 21 )22laxux ttnall 二. 特殊方程的边界齐次化：知识点见2122PP 2.已知初边值问题： 20000 ,0,...