第四章差分方程方法VIP专享VIP免费

第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列 nx，把数列中的前1n项nixi,2,1,0关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211knknnnxaxaxax (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，kiai,,2,1为差分方程的系数，且nkak 0。对应的代数方程 02211kkkkaaa （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有 k 个单特征根 k,,,,321，则差分方程（4.1）的通解为 nkknnncccx2211， 其中kccc,,,21为任意常数，且当给定初始条件  0 iix ki,,2,1 (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1） 有 l 个相异的特征 根kll1,,,,321重数分别为lmmm,,,21且kmlii 1 则差分方程（4.1）的通解为 nlimilinimiinimiinncncncxl112112111121 同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。 3. 特征根为复根 设差分方程（4.1）的特征根为一对共轭复根i21,和相异的2k 个单根k,,43,则差分方程的通解为 nkknnnnncccncncx443321sincos, 其中22, arctan . 同样由给定的初始条件（4.3）可以惟一确定一个特解。 另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可以类似地给出差分方程解的形式。 4．1．2 常系数线性非齐次...