文科高等数学(3.导数与微分)VIP免费

第三章 导数与微分 1 第二章 导数与微分 § 2 . 1 导数 一、引例 1 ．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 0000)()(tttftfttss  这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令t t00 取比值00)()(tttftf的极限 如果这个极限存在 设为 v  即 00)()(lim0tttftfvtt 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2 ．切线问题 设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线 设曲线 C 就是函数y f(x )的图形 现在要确定曲线在点 M(x 0, y 0)(y 0f(x 0))处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x , y ) 于是割线 MN 的斜率为 0000)()(tanxxxfxfxxyy 其中为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x x 0 如果当 x  0 时 上式的极限存在 设为 k  即 00)()(lim0xxxfxfkxx 存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中是切线 MT 的倾角 于是 通过点 M(x 0, f(x 0))且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义 1  函数在一点处的导数与导函数 第三章 导数与微分 2 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 00)()(lim0xxxfxfxx 令xxx0 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0 相当于x 0 于是00)()(lim0xxxfxfxx 成为 xyx0lim或xxfxxfx)()(lim000 定义 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 当自变量x在x0处取得增量x(点x0x仍在该邻域内)时 相应地函数y 取得增量yf(x0x)f(x0) 如果y 与x 之比当x0 时的极限存在 则称函数yf(x)在点x0 ...