斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式VIP免费

1 斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Nu mber），记为),(knS， nk 1。 例如，将4 个物体dcba,,,分成3 个非空子集，有下列 6 种方法： )}(),(),,{(dcba，)}(),(),,{(dbca，)}(),(),,{(cbda， )}(),(),,{(dacb，)}(),(),,{(cadb，)}(),(),,{(badc。 所以，6)3,4(S 。 斯特林数),(knS的值列表如下： k n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 1 1 3 1 3 1 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 1 6 1 31 90 65 15 1 7 1 63 301 350 140 21 1 8 1 127 966 1701 1050 266 28 1 9 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1 容易看出，有 1),()1,(nnSnS，12)2,(1 nnS，2)1()1,(2nnCnnSn 。定理1 当 nk 2 时，有 ),()1,(),1(knkSknSknS 。 证 把1n个元素分成k 个非空子集，有),1(knS种不同分法。 把1n个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1n个元素单独作为1 个子集，其余 n 个元素分成1k个非空子集，这种情况下有)1,(knS种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(knS种分法，再将第1n个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有 k),(knS种不同做法。所以共有),()1,(knkSknS种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(knkSknSknS 。 如果规定当1k或nk 时，0),(knS，则公式 ),()1,(),1(knkSknSknS对 任何正整数n 和任何整数k 都成立。 2 定理2 对任何整数 n1 和 0k ，有 10)()1(!1),(kinikiikCkknS 。 证 用数学归纳法证明。 （1 ）当 1n 时， 10)()1(!1kiikiikCk101)1(!)1(1kiikiCk),1(1011)1(!01000kSkkC ， 公式成立。 （2 ）设已知对某个正整数 n，公式成立，下面看 1n 时的情形： ),()1,(),1(knkSknSknS 201)1()1()!1(1kinikiikCk10)()1(!kinikiikCkk 1111)()1(!)1(1kinikiikCk10)()1(!)1(1kinikiikCk 101)()1()!1(1kinikiikCk101)()1(!1kinikiikCk ， 可见 1n 时公式也成立。 （3 ）所以，对任何正整数 n ，公式都成立。 ...