291 5.6 分形与分数维 教学要求 要求了解简单分形图形与朴素的分数维概念,并从中欣赏数学的美. 知识点 1.几个常见的分形图 2.分数维数的概念 5.6.1. 几个常见的分形图 在近代数学的发展长河中, 与混沌密切相关的一门新的几何学诞生和发展起来了, 这就是分数维几何学. 1982 年, 美国科学家曼德布罗特(B. Mandelbrot)出版了“自然界的分数维几何”一书, 从此, 分形或分数维就成了科学家们的一个热门话题. 我们熟悉经典的维数概念, 知道点、直线、平面、立体分别是0 , 1 , 2 , 3 维的. 如果把时间变量添入我们生活的空间, 那么就出现了4 维空间. 更一般地, 具有 n 个自由度的对象, 就是n 维的. 这些维数都是非负整数. 但是在自然界又充满着许多人们熟悉的但又十分变幻莫测的现象, 它们涉及的几何图形无法用整数维数去解释. 比如天上多变的云彩, 地上河网水系,复杂形状的海岸线, 人体内的血管分布等等. 因此, 不要以为分数维概念是数学家头脑中凭空产生的, 它也是在人类生产实践、科学实验与艺术实践的推动下出现的. 从数学本身来说, 经典的欧几里德几何研究圆规与直尺画的图形. 自牛顿~莱布尼兹创建微积分以来, 微分几何学研究光滑的即可微分的图形. 这些图形都具有特征长度, 如圆的半径, 正方形的边长, 可微曲线的弧长等等. 但是许多复杂的图形没有这样的特征长度, 但又有着明显的自相似或扩展对称性结构. 例如从集合论奠基者康托(Cantor)命名的康托集, 你将会看到, 它的长度为 0, 但这个集合的点又与1 维的实数集一样多. 你说它是0 维呢, 还是1 维呢? 无法解释. 只有分数维的理论才能给以科学的说明. 我们不打算也不可能介绍纯理论的分数维概念, 只是从若干常见的分形图形初步了解分形或分数维几何的基本思想, 而且从中也将获得有趣的艺术欣赏, 体会数学的美感, 还可了解计算机对于艺术的强大功能. 实验 5.6.1 经典康托集. 在区间 [ 0, 1 ] 上, 截去中间的1 / 3, 即开区间32,31,得两个闭区间∪1,3231,0,其总 长度 为 2/3; 在留 下 的两 段 中, 再 截 去 它 们 各 自 中间 的1 / 3, 即 两 个开 区 间∪222238,3732,31,得四个闭区间∪∪∪222222239,3837,3633,3231,0,其总长度 为 (2/3) 2; 如 此 继 续 , 一...
