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算法学习:图论之用匈牙利算法求二分图的最大匹配VIP免费

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用匈牙利算法求二分图的最大匹配 什么是二分图,什么是二分图的最大匹配,这些定义我就不讲了,网上随便都找得到。二分图的最大匹配有两种求法,第 一种是最大流(我在此假设读者已有网络流的知识);第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法,但是它跟据二分图匹配这个问题的 特点,把最大流算法做了简化,提高了效率。匈牙利算法其实很简单,但是网上搜不到什么说得清楚的文章。所以我决定要写一下。 最大流算法的核心问题就是找增广路径(augment path)。匈牙利算法也不例外,它的基本模式就是: 初始时最大匹配为空 w hile 找得到增广路径 do 把增广路径加入到最大匹配中去 可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性,下面我来分析一下。 (注:匈牙利算法虽然根本上是最大流算法,但是它不需要建网络模型,所以图中不再需要源点和汇点,仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。) 图 1 图 2 图 1 是我给出的二分图中的一个匹配:[1,5]和[2,6]。图 2 就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径:3->6->2->5->1->4。我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质: (1)有奇数条边。 (2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。 (3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。(其实二分图的性质就决定了这一点,因为二分图同一边的点之间没有边相连,不要忘记哦。) (4)整条路径上没有重复的点。 (5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。(如图 1、图 2 所示,[1,5]和[2,6]在图 1 中是两对已经配好对的点;而起点 3 和终点 4 目前还没有与其它点配对。) (6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中,所有第偶数条边都出现在原匹配中。(如图 1、图 2 所示,原有的匹配是[1,5]和[2,6],这两条配匹的边在图 2 给出的增广路径中分边是第 2 和第 4 条边。而增广路径的第 1、3、5 条边都没有出现在图 1 给出的匹配中。) (7)最后,也是最重要的一条,把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去,并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除(这个操作称为增广路径的取反),则新的匹配数就比原匹配数增加了 1 个。(如图 2 所示,新的匹配就是所有蓝色的边,而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为 3。) 不难想通,在最初始时,还没有任何匹配时,图 1...

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