1 双角平分线模型 模型讲解 【结论1】如图所示，在△ABC 中，BD，CD 分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，则 ∠BDC=90°+ 12∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC= x，∠ACD=∠BCD = y. 由△ABC 的内角和为 180°，得∠A+2x+2y=180°.① 由△BDC 的内角和为 180°，得∠BDC+x+y=180°.② 由②得 x+y=180°-∠BDC.③ 把③代入①，得∠A+2(180°-∠BDC) =180°, 即 2 ∠BDC = 180°+∠A, 即 ∠BDC=90°+ 12∠A. 2 【结论2】如图所示，△ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D，则 ∠BDC = 90°− 12∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD = x，BCD=∠FCD = y. 由△BCD 的内角和为 180°，得 x+y+∠BDC=180°，① 易得 2x+2y=180°+∠A.② 由①得 x+y=180°-∠BDC.③ 把③代入②，得 2(180°―∠BDC) =180°+∠A， 即 2∠BDC = 180°-∠A， 即 ∠BDC = 90°− 12∠A. 3 【结论3】如图所示，△ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D，则 ∠D= 12∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC = x，∠ACD=∠ECD = y. 由外角定理得 2y=∠A+2x，① y=∠D+x.② 把②代入①，得 2(∠D+x)=∠A+2x， 即 ∠D= 12∠A. 4 典型例题 典例1 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O，若 ∠BAC=80°，则∠BOC 的度数是( ). A.130° B.120° C.100° D.90° 典例2 如图，BA1 和CA1，分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD 的平分线，CA2 是∠A1CD 的平分线，BA3 是∠A2BD 的平分线，CA3 是∠A2CD 的平分线，……以此类推，若∠A=α，则 A2020 =___________ . 5 典例3 【问题】如图1，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB. 若∠A=80°，则∠BEC=________；若∠A=n°，则∠BEC=______. 【探究】 (1)如图2，在△ABC 中，BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分 ∠ACB，若∠A=n°，则∠BEC=________； (2)如图3，O 是∠ABC 的平分线 BO 与∠ACD 的平分线 CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系，并说明理由； (3)如图4，O 是三角形 ABC 的外角∠DBC 与∠BCE 的平分线 BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系? (只写结论，不需要证明） 6 初露锋芒 1 . 如图所示，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE，CD 相交于点F，若∠A=60°，则∠BFC 等于( ). A.121° B.120° C.119° D.118° 2 . 如图，五边形 A...
